Uzayın üç noktasından tek bir düzlem çizilebilmesi için bu noktaların aynı doğru üzerinde bulunmaması gerekir.

Üst Kartezyen koordinat sisteminde M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) noktalarına bakalım.

Yeterli bir M(x, y, z) noktasının M 1 M 2 M 3 noktalarıyla aynı düzlemde olması için, vektörlerin eş düzlemli olması gerekir.

(
) = 0

bu şekilde,

Üç noktadan geçen düzlemin düzlüğü:

İki noktanın arkasındaki düzlemi hizalama ve vektör, eşdoğrusal düzlem.

Verilen noktalar M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) i vektörü olsun
.

Düzlemi verilen M 1 ve M 2 noktalarından ve vektöre paralel tam M (x, y, z) noktasından geçecek şekilde eşitleyelim .

Vektörler
ta vektör
mayut buti complanarnі, tobto.

(
) = 0

Alanın düzlüğü:

Düzlemin bir nokta ve iki vektör ile hizalanması,

doğrusal düzlemler.

Göreve iki vektör verin
і
, doğrusal düzlemler. Daha sonra düz duran yeterli bir M (x, y, z) noktası için vektörler
eş düzlemli olmak.

Alanın düzlüğü:

Noktanın arkasındaki alanın ve normal vektörün hizalanması .

teorem. Uzaya bir M noktası verildiği sürece 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), o zaman düzlem M noktasından geçmek için eşittir 0 normal vektöre dik (A, B, C) şöyle görünebilir:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

getirmek. Düzlemde bulunan yeterli bir M (x, y, z) noktası için bir vektör ekleriz. Çünkü vektör - Normal vektör, sonra düzleme dik ve ayrıca i vektörüne dik
. Todi skaler tvir

= 0

Bu sıralamada, alanı eşitlemek gerekir.

Teorem tamamlandı.

Yığın sıralarında dairenin tesviye edilmesi.

Balta + Wu + Сz + D = 0'a eşit bir vahşi gibi (-D)'ye aşağılayıcı kısımlar ekleyin

,

değiştirme
, Menfezlerde alanın düzlüğünü alıyoruz:

a, b, c sayıları, düzlemin x, y, z eksenleriyle aynı doğrultudaki kesit noktalarıdır.

Vektör formunun alanının düzlüğü.

de

- M(x, y, z) akış noktasının yarıçap vektörü,

Düz, dik olabilen, koordinat koçanı düzlemine indirilmiş tek vektör.

,  ve  - x, y, z eksenli vektör tarafından oluşturulan kuti.

p - İkinci dikmenin uzunluğu.

Hedefin koordinatlarında şunları görebilirsiniz:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

V_dstan v_d uçağı gösterir.

Vіdstan vіd dovіlnoї noktası M 0 (x 0, y 0, z 0) Ax + Wu + Сz + D = 0 düzlemine daha fazla:

popo P (4; -3; 12) noktasının düzlemdeki koordinatların koçanına indirilmiş dikeyin temeli olduğunu bilerek düzlemin hizalamasını bilin.

Bu sırayla A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, aşağıdaki formülle hızlandırılmıştır:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

popo P(2; 0; -1) ve iki noktadan geçecek düzlemin seviyesini bulunuz.

Q(1; -1; 3) 3x + 2y - z + 5 = 0 düzlemine dik.

3x + 2y - z + 5 = 0 düzlemine normal vektör
shukaniy düzlemine paralel.

alıyoruz:

popo A(2, -1, 4) noktalarından geçecek düzlemin seviyesini bulun ve

В(3, 2, -1) düzleme dik X + de + 2z – 3 = 0.

Shukane tesviye alanı şöyle görünebilir: A x+ B y+ C z+ D = 0, düzleme normal vektör (A, B, C). Vektör
(1, 3, -5) düz yatırın. Normal vektörün yüzeyine dik olan bir düzlem veriliyor. (1, 1, 2). Çünkü A ve B noktaları her iki düzlemde bulunur ve düzlemler karşılıklı olarak diktir, o zaman

Böylece, normal vektör (11, -7, -2). Çünkü A noktası shukano düzleminde yatıyor, її fayın koordinatları o zaman düzlemin seviyesinden memnun. 112 + 71 - 24 + D= 0;D= -21.

Ayrıca, alanı eşitlemek gerekir: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

popo P (4, -3, 12) noktasının düzlemdeki koordinatların koçanına indirilmiş dikeyin temeli olduğunu bilerek düzlemin hizalamasını bilin.

Normal vektörün koordinatlarını biliyoruz
= (4, -3, 12). Alanın Shukane seviyesi görünebilir: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. D katsayısının değeri için, Р noktasının eşit koordinatlarını temsil ediyoruz:

16+9+144+D=0

Otzhe, otrimuemo shukane eşittir: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

popo A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1) piramidinin köşelerinin koordinatları göz önüne alındığında,

A1A2 kenarının uzunluğunu bulun.

A1A2 ve A1A4 nervürleri arasındaki kesimi bilin.

Kenar A1A4 ile faset A1A2A3 arasındaki kesimi bilin.

Arkada A1A2A3 yüzüne giden normal vektörü biliyoruz. yak vektör tvir vektör_v
і
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Normal vektör ile vektör arasındaki kesimi biliyoruz
.

-4 – 4 = -8.

Shukany kut  vektör ve yol düzlemi arasında  = 90 0 - .

A 1 A 2 A 3 yüzünün alanını bulun.

Obsyag piramidi'yi bilin.

A1A2A3 alanının hizalamasını bilin.

Üç noktadan geçen alanı eşitleme formülü ile hızlandırma.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Alternatif bilgisayar versiyonu ile “ İleri matematik kursu” programı çalıştırabilirsiniz, böylece piramidin köşelerinin herhangi bir koordinatına daha iyi bir örnek görebilirsiniz.

Programı başlatmak için simgeye çift tıklayın:

Görünen programın sonunda, i piramidinin köşelerinin koordinatlarını girin, Enter tuşuna basın. Böyle bir sıralamada, kendi isteğinize göre, tüm karar noktalarını ortadan kaldırabilirsiniz.

Not: Programı çalıştırmak için, hangi sürümde olursa olsun, MapleV Release 4'ten başlayarak bilgisayarınızda Maple (Waterloo Maple Inc.) kurulu olmalıdır.

Düzlemin derin bir düzlüğünü elde etmek için düzlemi belirli bir noktadan inceleyeceğiz.

Açık alana gelin, zaten bize verilen koordinat eksenlerinden üçü - Öküz, Ahі Öz. Kağıt kemerini şaraplar yassı olacak şekilde kullanıyoruz. Arkush'un kendisi düz bir alan olacak ve yoga tüm düz hatlarda gerçekleştirilecek.

Hadi P uzayın yakınında oldukça düz bir alan. Vektöre dik olan deriye denir normal vektör yüzeye. Zvichayno, sıfır olmayan bir vektör hakkında git.

Uçağın bir noktası olarak görüldüğü gibi P ve eğer normal bir vektör varsa, o zaman iki zihnin zihni tarafından uzay alanı atanır(Belirli bir noktadan, belirli bir vektöre dik bir düzlem çizilebilir). Zagalne r_vnyannya matime kare baktı:

Otzhe, düşün, bölgenin seviyesi nedir, є. Ağla kendin al alanın tesviye edilmesi, daire üzerinde alınan daha net ne işaret edilebilir P hemen hemen puan M değişen koordinatlarla x, y, z. Düz uzanmak için Tsya noktası, bunun için daha azdır, eğer vektör dikey vektör(Şek. 1). Bunun için bu vektörlerin skaler toplamının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Vektör zihin tarafından verilir. Vektörün koordinatları formülle bilinir. :

.

Şimdi, vikoristovuyuchi formülü skaler oluşturma vektörü , Skaler katıyı koordinat formunda görebiliriz:

Oskilki noktası M(x;y;z) yeterliyse, düzlemin geri kalanı düz üzerinde uzanan herhangi bir noktanın koordinatlarından memnundur. P. nokta için N, o zaman belirli bir düzlemde uzanmayan . sakinlik (1) bozulur.

örnek 1. Düzlemi vektöre dik bir noktadan geçecek şekilde düzleştirin.

Çözüm. Vikoristovuєmo formülü (1), bir kez daha ona hayret edin:

tsіy formül numaralarına sahip olmak A , Bі C vektörün koordinatları ve sayılar x0 , y0 і z0 - nokta koordinatları.

Hesaplama daha da basit: aldığımız formül yerine qi sayılarını koyuyoruz

Çarpılması gereken her şeyi çarpıyoruz ve sadece sayılar ekliyoruz (harfsiz gibi). Sonuç:

.

Dipçiğin ilk adımın en yüksek seviyelerine, ancak koordinatların değişmesine kadar ortaya çıktığı düzlemin gerekli seviyelendirilmesi x, y, z uçağın prevіlnoї noktaları.

Otzhe, akla eşittir

aranan bölgenin derin seviyesine .

popo 2. Eşitliklerle verilen bir düzleme sahip olmak için dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemini indükleyin .

Çözüm. Bir düzlemi indüklemek için, üç її noktasını bilmek gerekli ve yeterlidir, böylece bunlar tek bir düz çizgi üzerinde uzanmazlar, örneğin, koordinat eksenli düzlemin çapraz çubuğunun noktaları.

Qi noktaları nasıl bilinir? Schob çizgiden geçiş noktasını bilmek Öz; x = y= 0. z= 6 Bu sırada peretina alanı Öz noktada A(0; 0; 6) .

Böylece alanın üst direğinin noktasını yukarıdan biliyoruz. Ah. -de x = z= 0 kabul edilebilir y= −3 , o zaman B(0; −3; 0) .

І, nareshti, bölgemizin kavşak noktasını yukarıdan biliyoruz Öküz. -de y = z= 0 kabul edildi x= 2 , o zaman C(2; 0; 0) . Üç kez karar noktalarımızdan uzaklaşıyoruz A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) ve C(2; 0; 0) alan verilecektir.

şimdi bakalım okremі vypadki zagalnogo rіvnyannya plaschiny. Tse vipadki, eğer tі chi іnshі coefіtsієnti eşit (2) sıfıra dönüştürülürse.

1. Ne zaman D= 0 koordinat koçanından, koordinat noktalarının parçalarından geçilecek alanı tanımlar 0 (0; 0; 0) eşit olanı karşılar.

2. Ne zaman bir= 0 eksene paralel bir düzlem tanımlar Öküz, oskіlki, eksene dik düzlemin normal vektörüdür. Öküz(genel olarak yogo projeksiyonu Öküz sıfıra eşittir). Benzer şekilde, ne zaman B= 0 daire eksene paralel Ah, ve ne zaman Ç= 0 daire eksene paralel Öz.

3. Ne zaman A=D= 0 tesviye, bütünün içinden geçilecek alanı tanımlar Öküz eksene paralel kazanılan kırıklar Öküz (bir=D= 0). Benzer şekilde, düzlem bütün içinden geçer Ah ve içinden geçen alan Öz.

4. Ne zaman A=B= 0 hizalama, koordinat düzlemine paralel bir düzlem tanımlar xOy eksenlere paralel olarak kazanılan kırıklar Öküz (A= 0) Ah (B= 0). Benzer şekilde, düzlem düzleme paraleldir yOz ve alan alandır xOz.

5. Ne zaman A=B=D= 0 eşitleme (aksi halde z= 0) koordinat düzlemini belirleyin xOy kırıklar düzleme paralel xOy (A=B= 0) Koordinat koçanından geçiyorum ( D= 0). Benzer şekilde, eşit y= Boşluk için 0, koordinat düzlemini tanımlar xOz ve eşit x= 0 - koordinat düzlemi yOz.

Örnek 3. uçağı düzleştir P içinden geçmek Ah işaret ediyorum.

Çözüm. Otzhe, alanın tamamından geçecek alan Ah. Bu nedenle, її eşittir y= 0 Katsayıları belirlemek için Aі C tim'i hızlandırıyoruz, nokta düz yatıyor P .

Bu nedenle, orta її koordinatları є yani, yakі düz bir uçağa yerleştirilebilir, yak zaten göstermiştik (). Koordinat noktalarına tekrar bakalım:

M0 (2; −4; 3) .

Aralarında x = 2 , z= 3 Onları iftiracı bir zihnin eşdeğeriyle değiştirmek, okremny vpadku'muz için eşit bir eşleşmedir:

2A + 3C = 0 .

acele 2 A nehrin sol tarafında, makul bir şekilde 3 C bunun doğru kısmına götürülür

A = −1,5C .

Bilinen değeri değiştirme A eşit ölçülerde, otrimaemo

veya .

Tse i є ryvnyannya, kıçını yıkaman gerekiyor.

Planı bağımsız olarak karenin düzlüğüne göre kontrol edin ve ardından kararı gözden geçirin.

Örnek 4. Alanı (birden fazla olduğu için düzlemler) koordinat eksenlerine veya koordinat düzlemlerine göre belirleyin, böylece alan eşit verilir.

Kontrol robotlarında kullanılan tipik görevlerin varyasyonu - "Düzlemde Zavdannya: paralellik, dikeylik, bir noktada üç düzlemin üst üste binmesi" yardım kitabından.

Üç noktadan geçen düzlemin düzlüğü

Zaten tahmin edildiği gibi, yüzey için yeterli bir entelektüel yüzey olması gerekir, ancak yalnızca bir nokta ve normal vektör vardır ve ayrıca üç nokta vardır, bu nedenle tek bir düz çizgi üzerinde uzanmayın.

Size tek bir doğru üzerinde olmayan üç farklı nokta vereyim. Üç nokta aynı düz çizgide, vektörlerde ve eşdoğrusalda olmayacak şekilde atandığından, düzlemin noktasının noktalarla aynı düzlemde olup olmadığı eş düzlemli, tobto. o zaman ve ancak o zaman, eğer zmіshany tvіr tsikh vektörіv bir sıfır.

Koordinatlarda Vykoristovuyuchi viraz zmіshanogo creativ, otrimaemo eşit alan

(3)

Rozkrittya vyznachnika tse vnyannya'dan sonra vyvnannyam zihin olur (2), o zaman. bölgenin zagalnym daireleri.

Örnek 5. Tek bir düz çizgi üzerinde olmayan, belirli üç noktadan geçen düz düzlemleri katlayın:

bu, böyle bir yer gibi bir okremiya vpadok zagalnogo ryvnyannya düz çizgisini ifade eder.

Çözüm. Formül (3) için şunları yapabiliriz:

Normal düzlük. V_dstan v_d uçağı işaret ediyor

Alanın normal hizalaması її hizalaması olarak adlandırılır ve şu şekilde yazılır:

Farklı şekillerde ayarlanabilir (bir nokta ve vektör, iki nokta ve vektör, üç nokta ve inç). Ben kendim karenin tesviyesine bakıyorum, farkın anasını görebilirsiniz. Ayrıca, trimann öncesi şarkı söyleyen zihinler söz konusu olduğunda, düzlemler üst üste binecek şekilde paralel, dik olabilir vb. Tse iy statti hakkında konuşalım. Düz düzlüğü nasıl katlayacağımızı öğreniyoruz ve daha az değil.

Normal görünüm

Kabul edilebilir, XYZ dikdörtgen koordinat sistemi olabilen є boşluk R 3. O koçan noktasından girdi olacak α vektörünü ayarladık. α vektörünün ucundan P düzlemini sanki yeni olana dikmiş gibi çiziyoruz.

Π üzerinde önemli ölçüde, belirli bir Q = (x, y, z) noktasıdır. Q noktasının yarıçap vektörü bir harfle işaretlenmiştir. Vektörün uzunluğu daha uzun olduğunda, p=IαI ve Ʋ=(cosα, cosβ, cosγ).

Bu, bir α vektörü olan ub_k düz bir çizgi olan tek bir vektördür. α, β і γ - tse kuti, vektör arasında yakі utvoryuyutsya x, y, z uzayına eksenlerin pozitif düz çizgileri açıktır. Q noktasının izdüşümü? bir vektöre? є eski bir p: (p,?) \u003d p(p?0) gibi sabit bir değere sahip.

Eşitleme, p \u003d 0 ise atanır. Biri, diğer yöndeki P düzlemi, O noktasını (α \u003d 0), bir koordinat koçanı olarak değiştirin, i, tek bir Ʋ vektörüdür, O noktasından sapmalar, P'ye dik ise, doğrudan yoga dikkate alınmaksızın , bu, Ʋ vektörünün tam olarak işarete göre belirlendiği anlamına gelir. Ön çizgi P yüzeyimize eşittir, ifade vektör formundadır. Ve yoga koordinatlarının y ekseni şöyle görünecek:

R burada aşağı yukarı 0'dır. Açık alana yakın alanın düzlüğünü normal bir şekilde biliyorduk.

Zagalne rivnyannia

Koordinatlarda eşit ise sayı olup olmadığı ile çarpıyoruz, toplamı sıfıra eşit değilse, o alanı belirleyen verilene eşit, eşdeğer alıyoruz. Vono matime şöyle görünür:

Burada A, B, C aynı anda sıfıra eşit olan tam sayılardır. Çizgi, solgun bir görünümün yüzeyindeki çizgi olarak adlandırılır.

Dairelerin tesviye edilmesi. özel vipadki

Görselin saflığı, ek zihinlerin apaçıklığı olarak görülebilir. Yaptıklarına bakalım.

A katsayısının 0'a eşit olduğunu varsayalım. Tse, verilen alanın verilen Ox eksenine paralel olduğu anlamına gelir. Ve burada hizalama türü değişir: Ву+Cz+D=0.

Benzer şekilde, eşit görünmek bu tür kafalar için değişir:

• İlk olarak, B = 0 ise, hizalama Oy ekseninin paralelliğini gösteren Ax + Cz + D = 0 olarak değişecektir.
• Farklı bir şekilde, C=0 gibi, hizalama Ax+Vu+D=0'a dönüşür, bu da verilen Oz eksenine paralellik ile ilgilidir.
• Üçüncüsü, D=0 olarak, hizalama Ax+By+Cz=0 gibi görünecektir ki bu önemlidir, böylece alan O (koordinatların koçanı) değişir.
• Dördüncüsü, eğer A=B=0 ise, o zaman hizalama Cz+D=0 olarak değişir, bu da paralelliği Oxy'ye getirir.
• Başka bir deyişle, eğer B = C = 0 ise, hizalama Ax + D = 0 olur ve ce, Oyz'a giden düzlemin paralel olduğu anlamına gelir.
• Nitekim, A=C=0 gibi, o zaman gelecekte Вu+D=0'a bakacağım, bu yüzden Oxz ile paralelliği hatırlayalım.

Doğruca rüzgarlara bakmak

Sıfır biçimindeki A, B, C, D sayıları gibi, eşitlik türüne (0) yaklaşılabilir:

x/a + y/b + z/c = 1,

yakomu'da a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, \u003d -D / C.

Varto sonucunda verilen yüzeyin (a,0,0), Oy - (0,b,0) ve Oz - (0,0,c) koordinatlarındaki tüm Ox noktalarında değişeceği sonucu alınır.

Alanın yerleşiminin verilen koordinat sistemine göre görsel olarak gösterilmesi önemli değildir.

Normal vektör koordinatları

P düzlemine göre normal vektör n'nin, verilen düzlemin merkezi hizalama katsayıları olan, yani n (A, B, C) koordinatları yoktur.

Normal n'nin koordinatlarını belirlemek için, verilen düzlemin daha yüksek bir seviyesi kavramını elde etmek.

Küresel hizalamanın değişimi için x/a + y/b + z/c = 1 gibi görünebilen rüzgarların hizalamasını değiştirirken, verilen alanın herhangi bir normal vektörünün koordinatlarını yazabilirsiniz. : (1/a + 1/b + 1/c).

Varto, normal vektörün çeşitli görevleri çözmeye yardımcı olduğunu belirtir. En genişi, düzlemlerin dikeyliğini veya paralelliğini kanıtlamakla ilgili görevler, düzlemler arasında bir kesim veya düzlemler ve düz çizgiler arasında bir kesim bulma sorunudur.

Noktanın koordinatları ve normal vektör ile düzlemin hizalanmasının görünümü

Belirli bir düzleme dik sıfır olmayan bir n vektörü, belirli bir düzlem için normal (normal) olarak adlandırılır.

Koordinat uzayının (dikdörtgen koordinat sistemi) Oxyz'nin verildiğini varsayalım:

• koordinatları olan Mₒ noktası (xₒ, yₒ, zₒ);
• sıfır vektörü n = A * i + B * j + C * k.

Normal n'ye dik Mₒ noktasından geçebilmemiz için düzlemi düzleştirmek gerekir.

Uzayda, anlamlı bir şekilde її M (x y, z) olan yeterli bir nokta olup olmadığını seçiyoruz. M (x, y, z) noktasının yarıçap vektörü r=x*i+y*j+z*k ve Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) noktasının yarıçap vektörü - rₒ=хₒ* olsun ben +yₒ *j+zₒ*k. M noktası verilen düzlem içinde yer alır, öyle ki MₒM vektörü n vektörüne dik olacaktır. Zihnin ortogonalliğini sayısal yaratım yardımıyla yazalım:

[MₒM, n] = 0.

Oskіlki МₒМ = r-rₒ, vektör aşağıdaki gibi düzleme eşit değildir:

Cervnyannya farklı bir biçim alabilir. Buna karşı, skaler yaradılışın güçleri galip gelir ve sol taraf dönüşür. = -. c'yi alırsanız, o zaman hizalamayı göreceksiniz: - c \u003d 0 veya \u003d c, düzleme kadar uzanan verilen noktaların yarıçap vektörünün normal vektörü üzerindeki çıkıntı sayısını gösterir.

Artık alanımızın = 0 vektör hizalamasının kaydının koordinat görünümünü alabilirsiniz. Ölçekler r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k ve n = A*i+B * j + C * k, şunları yapabiliriz:

Dışarı çıkmak için, noktadan normal n'ye dik olarak geçen düz bir düzlemimiz var:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

İki noktanın koordinatları ve vektör, eşdoğrusal düzlem ile düzlemin hizalanmasının görünümü

İki tam nokta M '(x', y', z') ve M'(x', y', z') ve ayrıca a vektörü (a', a', a') verildi.

Şimdi verilen düzlemi toplayabiliriz, böylece gerçek M' ve M″ noktalarından geçebiliriz ve ayrıca koordinatları (x, y, z) olan M іz noktasının verilen a vektörüne paralel olup olmadığı.

Eğer öyleyse, M'M=(x-x';y-y';z-z') ve M″M=(x″-x';y″-y';z″-z') vektörleri a vektörü ile eş düzlemli olabilir. \u003d (a ′, a ″, a ‴) ve ce (M′ M, M ″ M, a) \u003d 0 anlamına gelir.

Otzhe, genişliğin yakınındaki alanı seviyelendirmemiz şuna benziyor:

Üç noktadan geçen uçağın düzlüğünü görmek

Diyelim ki üç noktamız var: (x', y', z'), (x', y', z'), (x‴, y‴, z‴), dolayısıyla bunlar tek bir düz çizgi üzerinde uzanmıyorlar . Üç noktadan geçen düzlemin seviyesini yazmak gerekir. Geometri teorisi, böyle bir düzlemin pratik olarak geçerli olduğunu, eksenin yalnızca bir olduğunu ve aynısının tekrarlanmadığını iddia eder. Oskіlki tsya uçağı peretinaє nokta (x ′, y ′, z ′), її rivnyannya'nın görüşü saldırıya uğrayacak:

Burada A, B, Z aynı anda sıfır görüyor. Alan ayrıca iki noktayı daha geçerek verilir: (x ", y", z ") i (x, y, z,).

Hemen, vazgeçilmez u, v, w ile homojen bir sistem toplayabiliriz:

Bazen x, y veya z, eşit (1) ile yetinmişsiniz gibi güzel bir nokta olarak görünür. Vrahovyuchi rіvnyannya (1) küçük olana atanan rіvnyan sistemi olan (3) rіvnyan sistemi (2), önemsiz olmayan N vektörünü (A, B, C) karşılar. Aynı şekilde, sistemin değerinin göstereni sıfıra eşittir.

Rivnyannya (1), yak mi otrimali, tse i є eşit düzlük. Üç noktadan tam olarak geçilir ve yanlış yorumlanması kolaydır. İlk sıradaki unsurlar için sunağımızı kimler için düzenlememiz gerekiyor. Gösterenin ana güçlerinden, alanımızın aynı anda üç ardışık noktayı (x', y', z'), (x', y', z'), (x‴, y‴, z‴) kaydırdığı açıktır. ). Tobto we virishi önümüze görev koydu.

Daireler arasında iki taraflı kesim

İki yüzlü kut, sanki tek bir düz çizgiden çıkıyormuşçasına iki düz yüzeyden oluşan geniş bir geometrik figürdür. Yani bu düzlük alanlarla çevriliymişçesine mekanın bir parçasıdır.

Diyelim ki artan eşitliklere sahip iki dairemiz var:

N=(A, B, C) ve N?=(A?, B?, C?) vektörlerinin verilen düzlemlere dik olduğunu biliyoruz. N ve N¹ vektörleri arasındaki cim ile bağlantıda φ, bu düzlemler arasında yer alan dorіvnyuє kutu (iki yüzlü). Skaler TV şöyle görünebilir:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

buna çok

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/(((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²))).

0≤φ≤π olduğunu söylemek yeterlidir.

Aslında, örtüşen iki düzlem iki kuti (iki yüzlü) oluşturur: φ 1 ve φ 2. Maliyetlerinin toplamı π'dir (φ 1 + φ 2 = π). їх kosinüsün maliyetine gelince, o zaman їх mutlak değerler eşittir, ancak işaretlerde farklılık gösterirler, yani cos φ 1 = -cos φ 2. Eşit (0) ise A, B ve C'yi -A, -B ve -C sayıları ile değiştirin, açıktır, o zaman eşit, aldığımız gibi, düzlemin kendisi için önemlidir, bir, eşit cos φ için φ'yi kesin = NN 1 /| N||N 1 | π-φ ile değiştirilecektir.

Dikey düzlemin hizalanması

Dikey, aralarında 90 dereceye eşit olan düzlemler olarak adlandırılır. Vikorist malzeme, daha çok katkı var, düzlemin dışına dik olan seviyesini bilebiliyoruz. Diyelim ki є iki uçağımız var: Ax+By+Cz+D=0 ve A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Dik olduklarından emin olabiliriz, yani cosφ=0. Tse, NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0 olduğu anlamına gelir.

Paralel düzlemin hizalanması

Sıcak noktaların intikamını almak için iki daireye paralel denir.

Umova (їх eşittir y, ön noktada scho y), kendilerine dik olan N ve N¹ vektörlerinin aynı çizgide olduğuna inanır. Ve tse, bu tür oranların sayıldığı anlamına gelir:

A/A?=B/B?=C/C?.

Oranlar ve açılımlar nasıl anlaşılır - A/A?=B/B?=C/C?=DD?,

Bu alanların zbіgayutsya olduğu gerçeğini kontrol etmek için. Ve tse, Ax+By+Cz+D=0 ve A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 hizalamasının bir düzlemi tanımladığı anlamına gelir.

Noktadan uçağa kadar yürüyün

Varsayalım ki, (0) eşit verildiği için P alanına sahip olabileceğimizi varsayalım. Koordinatları (хₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ olan noktaların sayısını bilmek gerekir. Bunun için P bölgesinin tesviyesini normal bir görünüme getirmek gerekir:

(ρ,v)=p (p≥0).

U çarpı ρ (x, y, z), P üzerinde gösterilen Q noktamızın yarıçap vektörüdür, p, sıfır noktası olan dikey P'nin uzunluğudur, v, düz çizgide gösterilen tek vektördür a.

P'de bulunan bir Q=(x, y, z) noktasının yarıçap vektörünün ρ-ρº farkı ve ayrıca belirli bir noktanın yarıçap vektörü Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) - böyle bir vektör, v dorivnyuє vіdstanі d üzerindeki izdüşümünün mutlak değeri, vіd Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) ila P'yi bilmek gerekir:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ale

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) = p-(ρ 0 ,v).

Eksen ben çıkıyorum,

d=|(ρ0,v)-p|.

Otzhe, otrimana vyslovlyuvannya, tobto shukane d'nin mutlak anlamını biliyoruz.

Vikoristovuyuchi mov parametresi, otrimuєmo daha açık:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Q 0 noktası verilmişse P düzleminin alt tarafında yer almalı, koordinatların koçanı ise ρ-ρ 0 i v vektörü arasında şu şekilde bilinmelidir:

d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-p>0.

Q 0 noktası koordinat koçanı ile paralelse, P görünümünün tam tarafında bulunur, o zaman harika, neler oluyor, ev sahibi, tobto:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Sonuç, birincisinin (ρ 0 ,v)>р, diğerinin (ρ 0 ,v) olduğu ortaya çıkıyor.<р.

Stosovna düz ve її eşit

Yüzeye dotik Mº noktasında yüzeye nasıl dokunulur - aynı alan, yüzeyde bu noktadan çizilen eğrilere olası tüm noktaları kapsayabilir.

Böyle bir bakışla, F(x, y, z)=0 yüzeyinin hizalanması şöyle görünecektir:

F x (xº, yº, zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Açık biçimin yüzeyini z = f (x, y) olarak ayarlarsanız, noktalı alan şu şekilde tanımlanır:

z-zº \u003d f (xº, yº) (x-xº) + f (xº, yº) (y-yº).

Retin iki daire

Koordinat sistemi (dikdörtgen) Oxyz genişletildi, iki düzlem П' ve П″ verildi, böylece üst üste biniyorlar ve değişmiyorlar. Parçalar, ister düz bir alan olsun, ister dikdörtgen bir koordinat sisteminde olsun, yüksek seviyelere atanır, P' ve P″'nin A'x + B'y + C'z çizgileriyle ayarlandığını dikkate alacağız. + D' = 0 ve A″x + B ″y+ З z + D = 0. Bu durumda, П' alanının normali n' (A', B', C') ve normali n″ (A) P″ alanının ″, B″, C″). Uçaklarımızın parçaları paralel değil ve hareket etmiyor, bu vektörler doğrusal değil. Vikoristovuyuchi movu matematiği, mi qiu Umov şu şekilde yazılabilir: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Düz olsun, sanki P' ve P″ çizgisi üzerinde uzanıyormuş gibi, a harfiyle gösterilsin, bu durumda a = P' ∩ P″.

a - P' ve P″ düzlemlerinin (yüksek) çoklu noktalarından oluşan düz bir çizgi. Tse, a düzlüğünde uzanan herhangi bir noktanın koordinatlarının A'x+B'y+C'z+D'=0 ve A″x+B″y+C″z+'yı sağlamak için bir saat borçlu olduğu anlamına gelir. D″ = 0. Daha sonra, noktanın koordinatları, saldırgan hizalama sisteminin özel bir bağlantısı olacaktır:

Sonuç olarak, nokta P' ve P ″ çizgisinin noktası olduğundan, sistemin çözümünün (keskin) düz çizginin noktalarından cildin koordinatlarına eşit olduğu ve düz olduğu ortaya çıktı. çizgi uzayda Oxyz (dikdörtgen) koordinat sisteminde önemlidir.

A, B, C ve D'nin tüm sayıları sıfıra eşitse, düz düzlem denir hatırlamak. Aksi halde bölgenin sıcak düzlüğüne denir. anlaşılmaz.

Trivimer uzayında Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminin düzleminin tüm olası derin düzensiz düzlüğüne bir göz atalım.

D = 0 olsun, aksi takdirde zihin düzlemine daha düzensiz bir şekilde eşit olabilir. Dikdörtgen koordinat sistemi Oxyz'deki Tsya düzlemi, koordinat koçanı içinden geçer. Aslında noktanın koordinatlarını ayarlarken aradaki fark tam olarak düzleme eşit olmuyor, aynılığa geliyoruz.

, veya , veya belki dairelerin düzensiz düzlüğünü zagalnі , veya , veya açıktır. Düzlemleri Oxy , Oxz ve Oyz koordinat düzlemlerine makul bir şekilde paralel olarak ayarlayın (zihnin düzlemlerin paralelliğine hayret edin) ve noktalardan geçin ve görünüşe göre. at. Oskilki noktası zihnin arkasında düz bir şekilde uzanıyorsa, o zaman bu noktanın koordinatları düzlüğün adil olabilmesi için düzlüğün düzlüğü ile tatmin edilmelidir. Biliyoruz. Bu rütbede, shukane rivnyannya görünebilir.

Rozv'yazannya tsgo zavdannya'nın başka bir yolunu teşvik edeceğiz.

Katlamamız gerekene eşit olan düzlem Oz düzlemine paralel olduğundan, normal vektörde Oz düzleminin normal vektörünü alabiliriz. Oz koordinat düzleminin normal vektörü, koordinat vektörüdür. Artık uçağın normal vektörünü ve düzlemin noktasını biliyoruz, bu yüzden onu daha eşit yazabiliriz (verilenlere benzer şekilde, makalenin ön paragrafında yazılmıştır):
, Todi її koordinatları, alanın düzlüğünden memnuniyetten kaynaklanmaktadır. Baba adalet adildir. yıldızları biliyoruz. Artık gördüğümüz gibi daha düz bir alan yazabiliriz.

Öneri:

Edebiyat listesi.

• Bugrov Ya.S., Mikilsky S.M. Vishcha matematiği. Birinci Cilt: Doğrusal Cebirin ve Analitik Geometrinin Öğeleri.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitik geometri.