Kot da sva se z očetom z avtomobilom peljala dvakrat dlje. In to je dober razlog za razumno ljubezen.

Govoril sem o "osnovnih izrekih". Glavni izrek aritmetike - tse be-yaké tsіle rozladaєtsya na dobutok praštevila, in en rang. Glavni izrek algebre je tisti, da ima polinom korenine sloga, tak korak (če obstaja pekel s formulami). In zdelo se je, da je glavni izrek analize v meni šel čez glavo.

Batko priznava, da je glavni izrek analize Newton-Leibnitzov izrek. "Tse o čem?" - Vprašal sem. Batko: "Ne spomnim se natančne formule, ampak govorim o tistih, ki se integrirajo - celotna operacija je zavita v diferenciacijo."

Nehaj, a tse hiba ni zate?

Tako kot pri glavnih izrekih je to, kar je v njih povedano, očitno, saj je že opravljeno. Toda v resnici nam sam osnovni izrek omogoča integracijo in razlikovanje z obratnimi operacijami. Pojdimo globoko proti-znanstveno mirkuvannya, če matematik pozna 100 500 formalnih oprostitev, vendar to ni pomembno naenkrat.

Kaj je diferenciacija? Če je mi v kožni točki funkcije prevodno pikčasta in je znano, da je tangenta kute, da bi prešla na obzorje, katerega os je:

Zdaj, če postavite točko kože na tangento znanja, boste videli novo funkcijo, kot se imenuje smešno. Ugani, katero številko e, kakšne so funkcije npr dorivnyuє npr, tako da ima kožna točka tangento reza, ki ima bolj dragoceno vrednost same funkcije.

Kaj je integracija? Vrednost površine figure pod krivuljo funkcije, obkrožene z navpičnimi mejami aі b ta vodoravna črta:

Če se razširite na vedno več kvadratov in se čudite med vsoto kvadratov, potem vidite isti kvadrat številk. To območje se imenuje sing integral funkcije y = f(x) na vіdrіzku [ a; b] in os je označena na naslednji način:

Odkrito povedano, ni očitno, da je sranje o kuti in sranje o območju ognja poved'yazani.

In po'yazani smrad osi jak. Povratna funkcija se imenuje primarna. Prvi pogled f(x)- kakšna je funkcija g(x) da її pokhіdna g´(x) = f(x). Na primer funkcija y = x 2+8 dobro y = 2x. Podobno za funkcijo y = x funkcijo y = (x 2/2) + 4 є primarni.

Enostavno si je zapomniti, da takšnih funkcij ni. Na primer, podobne funkcije y = x 2 + 28 strun y = 2x. Podobno za funkcijo y = x funkcija ( x 2 / 2) + 14 tezh є najprej. Logično je, še huje - tako kul je na točki kože in seveda, da se vina ne spreminjajo glede na to, kako visoko navpično dvignemo celoten graf funkcije. Podobno za funkcijo x pervіsna - tse x 2/2 plus spretnosti na leto.

Tako se pojavi os, da bi vedeli površino figure pod funkcijo y = f(x) vmes a prej b treba je vzeti pomen, pa naj bo iz njenega prvega g(x) na točkah bі a in si oglejte eno od naslednjih:

tukaj g- čeprav je enaka, a vseeno, če je ena prvih, potem bodo zanjo enake "skaliranja prihodnosti", videti bodo eno iz istega in se ne boste držali rezultata. Za kshtalt lahko vzamete preprosto funkcijo y = 2x, de ravno in brez іtegrаіv je enostavno pokahuvat v mislih, in ponovno. Vadite!

Ta formula se imenuje temeljni izrek analize ali Newton-Leibnizov izrek. Da bi jo izpostavili, je že mogoče poimenovati pomen primarne integracije, poleg tega pa je postavljena na diferenciacijo in integracijo, kot na medsebojno reverzibilne operacije.

Prva faza analize cest je identifikacija poravnave sistema.

V trenutni ekonometrični literaturi se identifikacija vzame kot strukturna specifikacija modela, imenovana kot znak vrednosti parametrov, in vidimo enega ali več subsumkovu strukturnih modelov analize podatkov.

Problem identifikacije v sistemu strukturnih poravnav povezave s prisotnostjo zadostnega števila meja, ki ga prekrivajo z modelom. Kaj je smisel p-analize - problem preživetja med številom možnih spivvennosti med r ij jaz pij i številka p ij .

Sicer pa je problem identifikacije strukturnih parametrov problem zadostnosti empiričnih podatkov za vrednotenje vseh koeficientov modela. Nujna miselna identifikacija izravnave je število srednjih linearnih kombinacij enakosti, ki so bile izgubljene, kot so bile zadovoljne z običajnimi menjavami modela, ki se nalagajo na končno izravnavo.

To je enako tako imenovanemu mentalnemu redu: da bi bili enakovredni v sistemu T Ugotovljene so bile linearne strukturne poravnave, nujno je, da nihče ni imel manj T- 1 sprememba s T+ prej spremeniti, tako kot model. Bistveno skozi Tštevilo endogenih sprememb v modelu, prej- Spremenjeno število povečav, h- število endogenih sprememb v analizirani rivni, g- Število povečav, ki se je spremenilo, je izgledalo enako. V enakem vrstnem redu lahko um zapišemo v obliki m+k -- h-- g > m- 1 abo do - g > h-- 1.

Strukturna poravnava se imenuje identifikacija, saj zadovoljuje mentalni red; v časih točne paritete se pariteta imenuje natančno identificirana, v primeru stroge neenakomernosti se nadidentificira.

Naslednji korak je ocena strukturnih parametrov. Za strukturne modele, ki temeljijo na p-koeficientih, je rezultat p ij priti skozi ne po metodi najmanjših kvadratov, ampak s pomočjo takšne metode. Zapišimo enako (3) na ta način: sicer (9)

Vykoristovuєmo koeficienti korelacije med umazano zminno in kožo z pojasnjevalnimi zminnyh: (10)

de n-številski čuvaj.

Zastopnik (10) namestnik x i na desni del viraza (10) vzamemo: (11)

Za katerega je zagotovljena celotna transformacija, da je korelacija u i, s x j za imenovanje bližje nič. Kako lagati, da je r ij =1, potem se imenuje sp_v_dnoshennia (11) osnovni izreki analize cest, lahko zapišemo takole: (12)

Tukaj j kaže na pojasnjevalno spremembo, povezavo s spremembo, ki je razložena in razvita v strukturnem modelu, prej teči skozi množico vseh sprememb, kot brez vmesnega prelivanja i-ta sprememba(Na grafu so oglišča povezana z ogliščem i z loki). Spivvіdnoshennia (12) velja za kateri koli rekurzivni sistem.

Analiza Shlyakhovyy omogoča rast korelacijsko razgradnjo rij . Predstavimo pojem "vrnitev (oskrba) zv'yazok", "dovodna injekcija", "neposredno vbrizgavanje", "posredno vbrizgavanje". Kakšen je korelacijski koeficient ničelnega reda r ij videti kot vimirnik nov klic dva hudobna, potem pa svet vodka vodka j-ta sprememba v i-to spremembo (q ij) bo njen del, da ne bi deponirali nobene od prevladujočih sprememb zanje - razlogov, niti v obliki korelacije med režijskimi stroški za j-ї in i-ї spreminjajočih se vzrokov (komponente chibnoy korelacije) v prisotnosti ni analiziranih v modelu apriorne korelacije sprememb v vhodih.

Na ta način lahko zadnjo povezavo dveh sprememb razporedimo v več skladišč z izboljšanim postuliranim modelom asimetrije vbrizgavanja: v celoten vbrizgavanje (vzročno vbrizgavanje) spremembe js v i-to, v dve komponenti, ki simulirati učinek pomilovanja, corel komponento, ki ji še ni mogoče dati globalno sprejetega imena. V moji sobi se lahko polna infuzija razporedi v dve skladišči z ureditvami za to, po nekem rangu bo nastala brez posrednika ali z drugimi spremembami.

neposredno vbrizgavanje ena sprememba za naslednjič je določena s koeficientom p ij; na ta način v lansy med razlago in razlago sprememb ni vmesnih lank. Indirektno vbrizgavanje- tse vpliv tih skladišče sukupny vplyu odnієї zmіnnoї per іnshhu, scho utavlyuєєtsya, ko vrahuvannі efekt transferіvі vplyu za dodatne zmіnnyh, spetsifikovanih v modelu jaka promyzhnі lanka v vzročni lanciuge, scho utavlyuєtsya, s lanciuge. Oskіlki budova sukupnogo vpvnіstyu ležijo v postulirani vzročni strukturi vіdnosin mіzh zminnimi, tisti, ki vabijo razumevanje, lahko imajo občutek za nič drugega kot vzročni model iz danega grafa zv'yazkіv.

§ 5. Glavni izrek analize

1. Glavni izrek. Razumevanje o integraciji, pevski svet pa o diferenciaciji, je bilo prijazno razrešeno prejšnji robit Newton in Leibnitz. Treba pa je bilo izdelati še eno preprosto stvar, da smo lahko novo matematično analizo poslali v veličastno evolucijo. Zdelo se je, da sta dva mejna procesa, ki nikakor ne trčita drug z drugim, enega za diferenciacijo, drugega pa za integracijo funkcij, tesno povezana. Prav, smrdi vzajemno

tisti so ležali n ampak ravna pot je naravna tveno znanstveni razvoj res je, da je drugače Nobeden od posameznikov ni prišel samostojno in jih je bilo mogoče postaviti naenkrat do jasnega razumevanja.

Da bi natančno formulirali glavni izrek, si oglejmo integral funkcije y = f(x) ne več kot konstantno število a do števila x, saj ga je mogoče spremeniti. Da ne bi spremenili zgornje meje med integracijo x in spremembo, ki sta pod predznakom integrala, zapišemo integral pri ofenzivno(razdel. stran 428):

če na tak način pokažemo naše ime, bo integral obrnil kot funkcijo F (x) njegove zgornje meje (slika 274). Ta funkcija F(x) je površina pod krivuljo y=f(u) od točke u=a do točke u=x. Z drugimi besedami, integral F(x) s spreminjajočo se zgornjo mejo imenujemo "nebistven integral".

Glavni izrek analize se glasi takole:

Razlika nedefiniranega integrala (1) od zgornjega vmesnega x do druge vrednosti funkcije f(u) v točki u = x:

F0(x) = f(x).

Z drugimi besedami, proces integracije, ki vodi od funkcije f(x) do funkcije F(x), "uide" z obratnim procesom diferenciacije, zastosovuvanie v funkcijo F(x).

Na intuitivni podlagi dokazovanje predloga ne postane težko. Temelji na interpretaciji integrala F (x) kot ravnega območja in je bil zatemnjen, saj smo skušali funkcijo F (x) predstaviti v grafu, ki je videti kot oblak F0 (x) kot sposoben nakhil . Če pustimo ob strani prej uvedeno geometrijsko interpretacijo podobnega, a geometrijsko zamegljenega integrala F (x) kot kvadrata, in diferenciranje funkcije F (x) bo postala analitična metoda. Trgovina na drobno

F(x1) − F(x)

ê samo površina pod krivuljo y = f (u) med mejama u = x1 in u = x (slika 275) in ni pomembno razumeti, da je številčna vrednost območja položena med števila (x1 - x) m in (x1 - x) M:

(x1 − x)m 6 F (x1 ) − F(x) 6 (x1 − x)M,

de M і m є, očitno, največja in najmanjša vrednost funkcije f(u) v intervalu od u = x do u = x1 . Dejansko ustvarimo dva kvadrata, enega za maščevanje ukrivljenemu območju, ki ga gledamo, in drugega za maščevanje v njem.

Mal. 275. Dokazati glavni izrek

zvezde kričijo

m 6 F (x1) - F (x) 6 M. x1 - x

Predpostavimo, da je funkcija f(u) neprekinjena, tako da ko se x1 uporablja za x, se vrednosti M in m spremenita v vrednost funkcije f(u) na točki u = x, nato pa do vrednosti f(x). V tem času lahko

468 MATEMATIČNA ANALIZA cilj. VIII

Intuitivna sprememba rezultata je posledica dejstva, da se s povečanjem swidta površina krivulje y = f(x) spremeni v višino krivulje v točki x.

Pri nekaterih pomočnikih je razlika med načeli glavnega izreka zakrita zaradi nehote razvite terminologije. Sami avtorji knjige začnejo uvajati koncept naključnega, nato pa obravnavajo "nevrednosti integrala" preprosto kot rezultat operacije, ki obrne prehod na diferenciacijo: zdi se, da funkcija G (x) so ne-vrednosti integrala v funkciji f (x), ki je

G0(x) = f(x).

Otzhe, tsey način vikladu brez vmesnega pov'yazuє diferenciacijo zі besedo "integral". Zaenkrat se uvaja pojem »pojoči integral«, ki ga razlagamo kot območje ali kot mejo med zaporedji vsot, poleg tega ni dovolj dodati, da beseda »integral« pomeni zdaj, v zadnjem času, nižje prej. Odkrije se prva os, ki je bolj omamljiva, za katero se je treba maščevati v teoriji, kupiti manj kot malo - skozi zadnja vrata in se iz resnih težav v lastnih glavah naučiti razumeti dan dneva. Predlagamo, da funkcije G(x), za katere G0(x) = f(x), ne imenujemo »nebistveni integrali«, temveč funkcije prve vrstice, kot je funkcija f(x). Nato lahko glavni izrek navedemo na naslednji način:

Funkcija F (x), ki je integral funkcije f(x) s konstantno spodnjo in spreminjajočo se zgornjo mejo x, je ena od funkcij prve vrstice funkcije f(x).

Pravimo "ena od" primarnih funkcij tistih razlogov, zakaj je G(x) primarna funkcija f(x), potem je jasno, da je funkcija oblike H(x) = G(x) + c (c - precej hitro) є tudi primarni, drobci H0(x) = G0(x). Zvorotna trdnost je tudi pravična. Dve primarni funkciji G(x)

in H(x) je mogoče obravnavati enega za drugim, ne drugače, kot stalni dodatek. Dejansko je razlika U(x) = G(x) − H(x) lahko podobna U0(x) = G0(x) − H0(x) = f(x) − f(x) = 0, tj. Ker je razlika konstantna, je očitno, da čeprav je graf funkcije horizontalen v svoji točki kože, je funkcija sama, ki se zdi graf, zagotovo lahko konstantna.

Tse vede k pomembnemu pravilu štetja integrala v mejah med a in b - v dodatku, tako da lahko vidimo, ali sta funkcija G (x) in funkcija f (x). Blizu naše glavne

izrek, funkcija

Glavna funkcija je tudi primarna funkcija, kot je funkcija f(x). Tudi F(x) =

G(x) + c de c - konstanta. Pomen konstante je dodeliti,

zato vzamemo za samoumevno, da je F(a) = f(u) du = 0. Sliši se tako:

0 = G(a) + c, torej c = −G(a). Isti integral na mejah med a in x je tudi zadovoljen z enakostjo

F(x) = f(u) du = G(x) − G(a);

zamenjava x skozi b vodi do formule

ne glede na to, da so bile "zagnane" prve funkcije bule. Z drugimi besedami: prešteti pesem v-

tegrav f(x) dx, zadostuje, da poznamo takšno funkcijo G(x), za katero

рій G0 (x) = f(x), nato pa dodamo razliko G(b) − G(a).

2. Prvi postanek. Integracija funkcij xr, cos x, sin x. Funkcija arctg x. Tukaj je nemogoče podati izčrpno trditev o vlogi glavnega izreka, pa bomo pomešali, da bomo predstavili nekaj različnih aplikacij. V zavdannya, scho zustrіchayutsya v mehaniki in fiziki ali v sami matematiki, se pogosto pripelje do nіdrakhovuvat številčne vrednosti deyaky sing integrala. Neposredno poskusite spoznati integral, saj je meja lahko neločeno zložljiva. Po drugi strani pa je, kot smo trdili v § 3, naj bo to kot diferenciacija, enostavno izenačiti in zlahka zberete več veliko število diferenciacijske formule Skin takšno formulo G0 (x) = f(x) lahko obravnavamo kot formulo, ki definira prvo podobno funkcijo G(x) kot funkcijo f(x).

Formula (3) vam omogoča, da dobite funkcijo prve vrstice za izračun integrala v funkciji f(x) za prvi interval.

Na primer, če želimo vedeti integracije korakov x2, x3, sicer na preprost način xn, potem je enostavneje - isto, kot je navedeno v § 1. Za formulo za diferenciacijo je korak podoben xn več nxn−1,

470 MATEMATIČNA ANALIZA cilj. VIII

torej kakšna funkcija

є funkcija

G0(x) = n n + + 1 1 xn = xn.

xn+1

Za tak čas je funkcija n + 1 perpodobna funkcija

točno funkcija f(x) = xn , prav tako pa lahko vzamemo formulo

x n dx = G(b) − G(a) = b n+1 − a n+1 . n + 1

Ta mirkuvannya je neopazno enostavnejša od okornega postopka nevmesnega izračuna integrala med vsotami.

Kot bolj skrajni korak smo v § 3 vedeli, da je za vsak racionalni s, tako pozitiven kot negativen, funkcija xs boljša od sxs−1 in za to s s = r + 1 funkcija

x r+1

f(x) = G0 (x) = xr (predpostavljamo, da je r 6= −1,

x r+1

tako da je s 6 = 0). Tudi funkcija r + 1 je sicer primarna funkcija

"nevrednosti integral" vіd xr і mi je sprejemljiva (za pozitivno a і b i za r 6= −1) formula

Formula (4) mora priznati, da je funkcija xr, ki stoji pod integralom, dodeljena in brez prekinitve v intervalu integracije, zato je treba vključiti točko x \u003d 0, torej r< 0. Вот потому мы и вынуждены допустить, что в этом случае a и b положительны.

Če je G(x) = − cos x možen, potem je zahtevan G0(x) = sin x

sin xdx = -(cos a - cos 0) = 1 - cos a.

Podobno, če je G(x) = sin x, potem je G0(x) = cos x, i,

cos xdx \u003d sin a - sin 0 \u003d sin a.

§ 5 OSNOVNI IZREK ZA ANALIZO 471

Še posebej dober rezultat prihaja iz formule za diferenciacijo funkcije arctg x:

potem lahko na podlagi formule (3) zapišemo

Ale arctg 0 = 0 (nič vrednost tangente je enaka nič vrednosti kuta). Oče, moja mati

+ simbol. . . sled razumevanja v tem smislu, da se zaporedje končnih "zasebnih zneskov", ki bi se moralo pojaviti, če je v pravem delu

žile se vzamejo manj kot n izrazov sumi, pragne med p at

neograjen pridelovalec n.

Da bi prinesli to čudežno formulo, je dovolj, da uganemo formulo za vsoto končne geometrijske progresije

1 − qn = 1 + q + q2 +. . . + qn−1 ,

de "presežni izraz" Rn je izražen s formulo

Rn = (−1)n x 2n 2 .

Enakost (8) je mogoče integrirati med 0 in 1. Po pravilu a) § 3 smo odgovorni, da vzamemo vsoto integracij v desnem delu okremih dodankiv. Na podlagi (4) vemo kaj

raste n. Morda smo živčni

x 2n 6 x 2n.

1+x2

Ko smo uganili formulo (13) § 1, ki bo ugotovila neenakomernost

f(x) dx 6 g(x) dx za f(x) 6 g(x) in a< b,