Come determinare se una funzione è lineare. Funzione lineare e suo grafico. Protezione delle informazioni personali

Definizione di una funzione lineare

Introduciamo la definizione di una funzione lineare

Definizione

Una funzione della forma $ y \u003d kx + b $, dove $ k $ è diverso da zero, è chiamata funzione lineare.

Grafico della funzione lineare - linea retta. Il numero $ k $ è chiamato pendenza della linea.

Per $ b \u003d 0 $, la funzione lineare è chiamata funzione di proporzionalità diretta $ y \u003d kx $.

Considera la Figura 1.

Figura: 1. Il significato geometrico della pendenza di una retta

Considera un triangolo ABC. Vediamo che $ ВС \u003d kx_0 + b $. Trova il punto di intersezione della retta $ y \u003d kx + b $ con l'asse $ Ox $:

\ \

Quindi $ AC \u003d x_0 + \\ frac (b) (k) $. Troviamo il rapporto tra queste parti:

\\ [\\ frac (BC) (AC) \u003d \\ frac (kx_0 + b) (x_0 + \\ frac (b) (k)) \u003d \\ frac (k (kx_0 + b)) ((kx) _0 + b) \u003d k \\]

D'altra parte, $ \\ frac (BC) (AC) \u003d tg \\ angle A $.

Pertanto, si può trarre la seguente conclusione:

Produzione

Significato geometrico del coefficiente $ k $. La pendenza della retta $ k $ è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione di questa retta all'asse $ Ox $.

Studio della funzione lineare $ f \\ left (x \\ right) \u003d kx + b $ e del suo grafico

Per prima cosa, considera la funzione $ f \\ sinistra (x \\ destra) \u003d kx + b $, dove $ k\u003e 0 $.

$ f "\\ sinistra (x \\ destra) \u003d (\\ sinistra (kx + b \\ destra))" \u003d k\u003e 0 $. Di conseguenza, questa funzione aumenta sull'intero dominio della definizione. Non ci sono punti estremi.
$ (\\ mathop (lim) _ (x \\ to - \\ infty) kx \\) \u003d - \\ infty $, $ (\\ mathop (lim) _ (x \\ to + \\ infty) kx \\) \u003d + \\ infty $
Grafico (Fig.2).

Figura: 2. Grafici della funzione $ y \u003d kx + b $, per $ k\u003e 0 $.

Consideriamo ora la funzione $ f \\ sinistra (x \\ destra) \u003d kx $, dove $ k

Lo scopo è tutto numeri.
La gamma è composta da tutti i numeri.
$ f \\ sinistra (-x \\ destra) \u003d - kx + b $. La funzione non è né pari né dispari.
Per $ x \u003d 0, f \\ sinistra (0 \\ destra) \u003d b $. Per $ y \u003d 0,0 \u003d kx + b, \\ x \u003d - \\ frac (b) (k) $.

Punti di intersezione con assi coordinati: $ \\ left (- \\ frac (b) (k), 0 \\ right) $ e $ \\ left (0, \\ b \\ right) $

$ f "\\ sinistra (x \\ destra) \u003d (\\ sinistra (kx \\ destra))" \u003d k
$ f ^ ("") \\ left (x \\ right) \u003d k "\u003d 0 $. Pertanto, la funzione non ha punti di flesso.
$ (\\ mathop (lim) _ (x \\ to - \\ infty) kx \\) \u003d + \\ infty $, $ (\\ mathop (lim) _ (x \\ to + \\ infty) kx \\) \u003d - \\ infty $
Grafico (Fig.3).

\u003e\u003e Matematica: funzione lineare e relativo grafico

Funzione lineare e suo grafico

L'algoritmo per costruire il grafico dell'equazione ax + con + c \u003d 0, che abbiamo formulato al § 28, per tutta la sua chiarezza e definitezza, non è molto gradito ai matematici. Di solito fanno un reclamo sui primi due passaggi dell'algoritmo. Perché, dicono, risolvere due volte l'equazione per la variabile y: prima ax1 + con + c \u003d 0, poi ax + con + c \u003d 0? Non è meglio esprimere immediatamente y dall'equazione ax + con + c \u003d 0, quindi sarà più facile eseguire calcoli (e, soprattutto, più veloce)? Controlliamo. Considera prima l'equazione 3x - 2y + 6 \u003d 0 (vedi esempio 2 dal § 28).

Dando x valori specifici, è facile calcolare i corrispondenti valori y. Ad esempio, per x \u003d 0 otteniamo y \u003d 3; in x \u003d -2 abbiamo y \u003d 0; per x \u003d 2 abbiamo y \u003d 6; per x \u003d 4 otteniamo: y \u003d 9.

Puoi vedere con quanta facilità e rapidità sono stati trovati i punti (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) e (4; 9), che sono stati selezionati nell'esempio 2 dal § 28.

Allo stesso modo l'equazione bx - 2y \u003d 0 (vedi esempio 4 dal § 28) potrebbe essere trasformata nella forma 2y \u003d 16 -3x. ulteriormente y \u003d 2,5x; è facile trovare punti (0; 0) e (2; 5) che soddisfano questa equazione.

Infine, l'equazione 3x + 2y - 16 \u003d 0 dello stesso esempio può essere trasformata nella forma 2y \u003d 16 -3x e quindi è facile trovare punti (0; 0) e (2; 5) che la soddisfano.

Consideriamo ora queste trasformazioni in termini generali.

Pertanto, l'equazione lineare (1) con due variabili x e y può sempre essere trasformata nella forma
y \u003d kx + m, (2) dove k, m sono numeri (coefficienti) e.

Questa particolare forma di un'equazione lineare sarà chiamata funzione lineare.

Usando l'uguaglianza (2), è facile, specificando un valore specifico di x, calcolare il valore corrispondente di y. Lascia, per esempio,

y \u003d 2x + 3. Quindi:
se x \u003d 0, allora y \u003d 3;
se x \u003d 1, allora y \u003d 5;
se x \u003d -1, allora y \u003d 1;
se x \u003d 3, allora y \u003d 9 e così via.

Di solito questi risultati sono presentati sotto forma tavoli:

I valori di y dalla seconda riga della tabella sono chiamati i valori della funzione lineare y \u003d 2x + 3, rispettivamente, nei punti x \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d -1, x \u003d - 3.

Nell'equazione (1), le variabili xnu sono uguali, ma nell'equazione (2) non lo sono: assegniamo valori specifici ad una di esse, la variabile x, mentre il valore della variabile y dipende dal valore selezionato di la variabile x. Pertanto, di solito si dice che x è la variabile indipendente (o argomento), y è la variabile dipendente.

Si noti che una funzione lineare è un tipo speciale di equazione lineare in due variabili. Grafico delle equazioni y - kx + m, come qualsiasi equazione lineare in due variabili, è una linea retta - è anche chiamata il grafico della funzione lineare y \u003d kx + mn. Quindi, il seguente teorema è vero.

Esempio 1. Traccia una funzione lineare y \u003d 2x + 3.

Decisione. Facciamo un tavolo:

Nella seconda situazione, la variabile indipendente x, che denota, come nella prima situazione, il numero di giorni, può assumere solo i valori 1, 2, 3, ..., 16. Infatti, se x \u003d 16, quindi con la formula y \u003d 500 - 30x troviamo: y \u003d 500 - 30 16 \u003d 20. Ciò significa che già il 17 ° giorno non sarà possibile prelevare 30 tonnellate di carbone dal magazzino, poiché da quel giorno ci sono saranno solo 20 tonnellate in magazzino e il processo di rimozione del carbone dovrà essere interrotto. Pertanto, il raffinato modello matematico della seconda situazione si presenta così:

y \u003d 500 - ZOD :, dove x \u003d 1, 2, 3, .... 16.

Nella terza situazione, un indipendente variabile x teoricamente può assumere qualsiasi valore non negativo (ad esempio, x \u003d 0, x \u003d 2, x \u003d 3.5, ecc.), ma in pratica un turista non può camminare a velocità costante senza dormire e riposare per tutto il tempo ... Quindi dovevamo creare vincoli ragionevoli su x, diciamo 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Ricorda che il modello geometrico della doppia disuguaglianza non rigorosa 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Accettiamo di scrivere al posto della frase “x appartiene all'insieme X” (si legge: “l'elemento x appartiene all'insieme X”, e è il segno di appartenenza). Come puoi vedere, la nostra conoscenza del linguaggio matematico è in continua evoluzione.

Se la funzione lineare y \u003d kx + m deve essere considerata non per tutti i valori di x, ma solo per i valori di x da un certo intervallo numerico X, allora scrivono:

Esempio 2. Traccia una funzione lineare:

Soluzione, a) Componiamo una tabella per la funzione lineare y \u003d 2x + 1

Costruiamo i punti (-3; 7) e (2; -3) sul piano delle coordinate xOy e tracciamo una linea retta attraverso di essi. Questo è il grafico dell'equazione y \u003d -2x: + 1. Successivamente, seleziona il segmento che collega i punti costruiti (Fig. 38). Questo segmento è il grafico della funzione lineare y \u003d -2x + 1, dove [-3, 2].

Di solito dicono questo: abbiamo tracciato una funzione lineare y \u003d - 2x + 1 sul segmento [- 3, 2].

b) In che modo questo esempio è diverso dal precedente? La funzione lineare è la stessa (y \u003d -2x + 1), il che significa che la stessa linea retta funge da grafico. Ma fa attenzione! - questa volta x e (-3, 2), cioè i valori x \u003d -3 ex \u003d 2 non sono considerati, non appartengono all'intervallo (- 3, 2). Come abbiamo segnato le estremità dell'intervallo sulla linea delle coordinate? Cerchi aperti (Fig. 39), ne abbiamo parlato al § 26. Allo stesso modo, i punti (- 3; 7) e B; - 3) dovrà essere segnato sul disegno con cerchi chiari. Questo ci ricorderà che vengono presi solo quei punti della retta y \u003d - 2x + 1 che si trovano tra i punti contrassegnati dai cerchi (Fig. 40). Tuttavia, a volte in questi casi non vengono utilizzati cerchi luminosi, ma frecce (Fig.41). Non è fondamentale, l'importante è capire cosa c'è in gioco.

Esempio 3. Trova i valori più grande e più piccolo di una funzione lineare su un segmento.
Decisione. Componiamo una tabella per una funzione lineare

Costruiamo i punti (0; 4) e (6; 7) sul piano coordinato xOy e tracciamo una linea retta attraverso di essi - il grafico della funzione x lineare (Fig.42).

Dobbiamo considerare questa funzione lineare non come un tutto, ma su un intervallo, cioè per x e.

Il segmento corrispondente del grafico è evidenziato nel disegno. Notare che l'ordinata più grande dei punti appartenenti alla parte selezionata è 7: questo è il valore più grande della funzione lineare sul segmento. Di solito usano la seguente notazione: y naib \u003d 7.

Si noti che l'ordinata più piccola dei punti appartenenti alla parte della linea retta evidenziata nella Figura 42 è 4 - questo è il valore più piccolo della funzione lineare sul segmento.
Di solito usano questa notazione: y nome. \u003d 4.

Esempio 4. Trova y naib e y naim. per la funzione lineare y \u003d -1,5x + 3,5

a) su un segmento; b) sull'intervallo (1.5);
c) su un mezzo intervallo.

Decisione. Componiamo una tabella per la funzione lineare y \u003d -l, 5x + 3.5:

Costruiamo i punti (1; 2) e (5; - 4) sul piano coordinato xOy e tracciamo una linea retta attraverso di essi (Fig. 43-47). Selezioniamo sulla retta costruita la parte corrispondente ai valori di x dal segmento (Fig.43), dall'intervallo A, 5) (Fig.44), dal semintervallo (Fig.47) .

a) Utilizzando la Figura 43, è facile concludere che y naib \u003d 2 (la funzione lineare raggiunge questo valore in x \u003d 1) e y naim. \u003d - 4 (la funzione lineare raggiunge questo valore in x \u003d 5).

b) Usando la Figura 44, concludiamo: questa funzione lineare non ha né il valore più grande né il più piccolo su un dato intervallo. Perché? Il fatto è che, contrariamente al caso precedente, entrambe le estremità del segmento, in cui sono stati raggiunti i valori più grande e più piccolo, sono escluse dalla considerazione.

c) Usando la Figura 45, concludiamo che y naib. \u003d 2 (come nel primo caso) e la funzione lineare non ha il valore più piccolo (come nel secondo caso).

d) Usando la Figura 46, concludiamo: y naib \u003d 3.5 (la funzione lineare raggiunge questo valore in x \u003d 0) e y naim. non esiste.

e) Usando la Figura 47, concludiamo: y naim \u003d -1 (la funzione lineare raggiunge questo valore in x \u003d 3) e y naib., non esiste.

Esempio 5. Traccia una funzione lineare

y \u003d 2x - 6. Utilizzando il grafico, rispondere alle seguenti domande:

a) a quale valore di x y \u003d 0?
b) a quali valori di x y\u003e 0?
c) a quali valori di x sarà y< 0?

Soluzione. Componiamo una tabella per la funzione lineare y \u003d 2x-6:

Disegna una linea retta attraverso i punti (0; - 6) e (3; 0) - il grafico della funzione y \u003d 2x - 6 (Fig.48).

a) y \u003d 0 in x \u003d 3. Il grafico incrocia l'asse x nel punto x \u003d 3, questo è il punto con l'ordinata y \u003d 0.
b) y\u003e 0 per x\u003e 3. Infatti, se x\u003e 3, la linea si trova sopra l'asse x, il che significa che le ordinate dei punti corrispondenti della linea sono positive.

c) a< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Tieni presente che in questo esempio abbiamo deciso di utilizzare il grafico:

a) l'equazione 2x - 6 \u003d 0 (ottenuto x \u003d 3);
b) disuguaglianza 2x - 6\u003e 0 (abbiamo x\u003e 3);
c) disuguaglianza 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Commento. In russo, lo stesso oggetto è spesso chiamato in modo diverso, ad esempio: "casa", "edificio", "struttura", "cottage", "villa", "baracca", "capanna", "capanna". Nel linguaggio matematico la situazione è più o meno la stessa. Diciamo che un'uguaglianza con due variabili y \u003d kx + m, dove k, m sono numeri specifici, può essere chiamata una funzione lineare, può essere chiamata un'equazione lineare con due variabili x e y (o con due incognite x e y), può essere chiamata una formula, puoi chiamare la relazione tra x e y, può finalmente essere chiamata la relazione tra x e y. Non importa, l'importante è capire che in tutti i casi si tratta di un modello matematico y \u003d kx + m

Considera il grafico della funzione lineare mostrato in Figura 49, a. Se ci muoviamo lungo questo grafico da sinistra a destra, allora le ordinate dei punti del grafico aumentano continuamente, stiamo, per così dire, "salendo su una collina". In questi casi, i matematici usano il termine aumento e dicono questo: se k\u003e 0, allora la funzione lineare y \u003d kx + m aumenta.

Considera il grafico della funzione lineare mostrato nella Figura 49, b. Se ci muoviamo lungo questo grafico da sinistra a destra, le ordinate dei punti del grafico diminuiscono continuamente, siamo, per così dire, "scendendo da una collina". In questi casi, i matematici usano il termine diminuzione e dicono questo: se k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Funzione lineare nella vita

Ora riassumiamo questo argomento. Abbiamo già incontrato un concetto come una funzione lineare, conosciamo le sue proprietà e abbiamo imparato a costruire grafici. Inoltre, hai considerato casi speciali di una funzione lineare e hai appreso da cosa dipende la posizione relativa dei grafici delle funzioni lineari. Ma si scopre che anche nella nostra vita quotidiana ci interseciamo costantemente con questo modello matematico.

Pensiamo a quali situazioni di vita reale sono associate a un concetto come le funzioni lineari? E inoltre, tra quali quantità o situazioni di vita, è possibile stabilire un rapporto lineare?

Molti di voi probabilmente non capiscono bene perché hanno bisogno di studiare le funzioni lineari, perché è improbabile che sia utile in età avanzata. Ma qui ti sbagli profondamente, perché ci imbattiamo in funzioni sempre e ovunque. Poiché anche il solito canone mensile è anche una funzione che dipende da molte variabili. E queste variabili includono il filmato dell'area, il numero di residenti, le tariffe, l'uso di elettricità, ecc.

Ovviamente, gli esempi più comuni di funzioni di dipendenza lineare che abbiamo incontrato sono lezioni di matematica.

Stavamo risolvendo problemi in cui trovavamo le distanze che le automobili, i treni oi pedoni percorrevano a una certa velocità. Queste sono le funzioni lineari del tempo di movimento. Ma questi esempi sono applicabili non solo in matematica, sono presenti nella nostra vita quotidiana.

Il contenuto calorico dei latticini dipende dal contenuto di grassi e questa dipendenza, di regola, è una funzione lineare. Quindi, ad esempio, con un aumento della percentuale di grasso nella panna acida, aumenta anche il contenuto calorico del prodotto.

Ora facciamo alcuni calcoli e troviamo i valori di keb risolvendo il sistema di equazioni:

Ora stampiamo la formula di dipendenza:

Di conseguenza, abbiamo una relazione lineare.

Per conoscere la velocità di propagazione del suono in funzione della temperatura, è possibile ricavarla applicando la formula: v \u003d 331 + 0.6t, dove v è la velocità (in m / s), t è la temperatura. Se disegniamo un grafico di questa dipendenza, vedremo che sarà lineare, cioè rappresenterà una linea retta.

E tali usi pratici della conoscenza nell'applicazione della dipendenza funzionale lineare possono essere enumerati per molto tempo. A partire dalle tariffe telefoniche, dalla lunghezza e dall'altezza dei capelli e persino dai proverbi in letteratura. E l'elenco potrebbe continuare all'infinito.

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A. V. Pogorelov, Geometria per i gradi 7-11, Libro di testo per istituzioni educative

Funzione lineare

Funzione lineare È una funzione che può essere definita dalla formula y \u003d kx + b,

dove x è una variabile indipendente, keb sono alcuni numeri.

Il grafico di una funzione lineare è una linea retta.

Viene chiamato il numero k pendenza della linea retta - il grafico della funzione y \u003d kx + b.

Se k\u003e 0, allora l'angolo di inclinazione della retta y \u003d kx + b rispetto all'asse x acuto; se k< 0, то этот угол тупой.

Se le pendenze delle linee, che sono grafici di due funzioni lineari, sono diverse, queste linee si intersecano. E se le pendenze sono le stesse, le linee rette sono parallele.

Grafico delle funzioni y \u003dkx +b, dove k ≠ 0, è una retta parallela alla retta y \u003d kx.

Proporzionalità diretta.

Proporzionalità diretta è una funzione che può essere specificata dalla formula y \u003d kx, dove x è una variabile indipendente, k è un numero diverso da zero. Viene chiamato il numero k coefficiente di proporzionalità diretta.

Il grafico proporzionale diretto è una linea retta passante per l'origine (vedi figura).

La proporzionalità diretta è un caso speciale di una funzione lineare.

Proprietà della funzioney \u003dkx:

Proporzione inversa

Proporzione inversa è una funzione che può essere impostata dalla formula:

k
y \u003d -
x

dove x È la variabile indipendente e k È un numero diverso da zero.

Il grafico della proporzionalità inversa è una curva chiamata iperbole(Guarda la figura).

Per una curva che è un grafico di questa funzione, gli assi x e y agiscono come asintoti. Asintoto - questa è una linea retta, alla quale si avvicinano i punti della curva allontanandosi verso l'infinito.

k
Proprietà della funzioney \u003d -:
X

La funzione lineare y \u003d kx + m, quando m \u003d 0 assume la forma y \u003d kx. In questo caso, noterai che:

Se x \u003d 0, allora y \u003d 0. Di conseguenza, il grafico della funzione lineare y \u003d kx passa per l'origine indipendentemente dal valore di k.
Se x \u003d 1, allora y \u003d k.

Considera i diversi valori di k e come y cambia da questo.

Se k è positivo (k\u003e 0), la linea retta (grafico della funzione), che passa per l'origine, si troverà nei quarti delle coordinate I e III. Infatti, per k positivo, quando x è positivo, anche y sarà positivo. E quando x è negativo, anche y sarà negativo. Ad esempio, per la funzione y \u003d 2x, se x \u003d 0,5, allora y \u003d 1; se x \u003d –0,5, allora y \u003d –1.

Ora, assumendo k positivo, considera tre diverse equazioni lineari. Sia: y \u003d 0,5x e y \u003d 2x e y \u003d 3x. Come cambia il valore di y con la stessa x? Ovviamente aumenta con k: più k, più y. E questo significa che la linea retta (grafico della funzione) con un valore maggiore di k avrà un angolo maggiore tra l'asse x (ascisse) e il grafico della funzione. Quindi, dipende da k a quale angolo si interseca l'asse retto x, e quindi si parla di k pendenza di una funzione lineare.

Ora esaminiamo la situazione in cui k x è positivo, allora y sarà negativo; e viceversa: se x y\u003e 0. Quindi, il grafico della funzione y \u003d kx per at k

Supponiamo che ci siano equazioni lineari y \u003d –0,5x, y \u003d –2x, y \u003d –3x... Per x \u003d 1 otteniamo y \u003d –0,5, y \u003d –2, y \u003d –3. Per x \u003d 2 otteniamo y \u003d –1, y \u003d –2, y \u003d –6. Quindi, maggiore è k, maggiore è y, se x è positivo.

Tuttavia, se x \u003d –1, allora y \u003d 0,5, y \u003d 2, y \u003d 3. Per x \u003d –2, otteniamo y \u003d 1, y \u003d 4, y \u003d 6. Qui, con k decrescente, y aumenta a X

Grafico delle funzioni per k

I grafici di funzioni come y \u003d kx + m differiscono dai grafici y \u003d km solo per lo spostamento parallelo.

Considera la funzione y \u003d k / y. Il grafico di questa funzione è una linea chiamata in matematica un'iperbole. La vista generale dell'iperbole è mostrata nella figura seguente. (Il grafico mostra che la funzione y è uguale a k divisa per x, in cui k è uguale a uno.)

Si può vedere che il grafico è composto da due parti. Queste parti sono chiamate rami dell'iperbole. Vale anche la pena notare che ogni ramo dell'iperbole si avvicina in una delle direzioni sempre più vicine agli assi delle coordinate. Gli assi delle coordinate in questo caso sono chiamati asintoti.

In generale, tutte le linee rette che il grafico di una funzione si avvicina all'infinito, ma non raggiunge, sono chiamate asintoti. Un'iperbole, come una parabola, ha assi di simmetria. Per l'iperbole mostrata nella figura sopra, questa è la linea y \u003d x.

Ora affrontiamo due casi generali di iperboli. Il grafico della funzione y \u003d k / x, per k ≠ 0, sarà un'iperbole, i cui rami si trovano nella prima e nella terza coordinata, per k\u003e 0, o nella seconda e nella quarta coordinata, per k<0.