Logaritmi, kao i slični brojevi, mogu se zbrajati, vídnímati i vílyako transformirati. Ale, logaritmi ne poznaju apsolutne brojeve, ovdje postoje svoja pravila, kako se to zove glavne vlasti.

Qi pravila obov'yazkovo treba plemenitost - bez njih, nitko ne može ozbiljno promijeniti logaritamski zadatak. Do tada nisu bogati – sve se može napraviti u jednom danu. Otzhe, učinimo to.

Preklapanje i vizualizacija logaritama

Pogledajmo dva logaritma s istim bazama: log a x i log a g. Todí se mogu presavijati i vidjeti, štoviše:

1. log a x+log a g= log a (x · g);
2. log a x−log a g= log a (x : g).

Otzhe, zbroj logaritama jednak je logaritmu stvaranja, a razlika je privatnom logaritmu. Uzvratiti poštovanje: ključna točka ovdje međutim, potkrijepiti. Yakshcho podstavi ê raznimi, í pravila ne rade!

Qi formule pomoći će izračunati logaritamsku viru kako bi je pronašli, ako se ostali dijelovi ne uzrujaju (božanska lekcija "Što je logaritam"). Pogledajte guzice i promijenite se:

log 6 4 + log 6 9.

Vjeverice daju logaritme iste, osvojite sumi formulu:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Menadžer. Pronađite vrijednost virusa: log 2 48 − log 2 3.

Predajte istu, pobjedničku formulu maloprodaje:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Menadžer. Pronađite vrijednost virusa: log 3 135 − log 3 5.

Opet, predlažem isto, pa možda:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao bachite, virazi složeni od "prljavih" logaritama, kao da se ne uzbuđuju. Ale, nakon toga se permutacija pojavljuje kao cjelina normalnih brojeva. Na temelju te činjenice generirano je mnogo kontrolnih robota. Dakle, kontrola - slično kao kod serioze (i praktički bez promjena) prelazi u ED.

Indikator vina korak z logaritam

Sada se trohovi mogu dovesti u red. Što, kolika je cijena koraka za potkrijepljenje argumenata logaritma? Isti pokazatelj koji korak može se okriviti za predznak logaritma za sljedeća pravila:

Nije važno zapamtiti da su sljedeće pravilo prva dva. Ali bolje od yoga, svejedno, zapamtite - u takvim vipadkama vrijedi ubrzati izračun.

Dakle, sva ova pravila mogu se osjetiti za dodavanje ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x> 0. I još: zastosovuvaty sve formule yak zlíva udesno, i y navpaki, tobto. možete unijeti brojeve koji stoje ispred znaka logaritma, sve do samog logaritma. Sama stvar je najpotrebnija.

Menadžer. Pronađite vrijednost virusa: log 7 49 6 .

Učinimo korak u argumentu nakon prve formule:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Menadžer. Saznajte značenje virusa:

[Potpisano malenom]

Zanimljivo je što banner ima logaritam, osnova tog argumenta je da je u točnim koracima: 16 \u003d 24; 49 = 72. Maemo:

[Potpisano malenom]

Mislim da će mi do ostatka guzice trebati objašnjenje. Odakle su došli logaritmi? Do ostatka trenutka, pratsyuêmo samo banner. Iznijeli su obrazloženje i argumentaciju logaritmu, što tu stajati, na vidiku stepenica i izveli razmetljive ljude - oduzeli “trostruki nadglavni” dribling.

Sada pogledajmo glavni dríb. Broj jedan i nositelj zastave imaju isti broj: log 2 7. Oskilki log 2 7 ≠ 0, možemo ubrzati dríb - nositelj zastave će izgubiti 2/4. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojevnu knjigu, koja je bila pokvarena. Kao rezultat, zaključak je bio: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima savijanja i zbrajanja logaritama, posebno sam sugerirao da je vjerojatnije da će smrad biti razrađen za iste vrijednosti. A što, ako daš razliku? Što, ako smrad nije točan korak tog istog broja?

Za pomoć, dolaze formule na klipu novog temelja. Formuliramo ih kao teorem:

Daj danski logaritamski dnevnik a x. Todi za koji god broj c takav da c> 0 ta c≠ 1

[Potpisano malenom]

Zokrema, spusti to c = x, uzimamo:

[Potpisano malenom]

Iz druge formule jasno je da je moguće mijenjati mjesta potkrepljujući taj argument logaritmom, ali se njime tada svi virazi “prevrću”. logaritam je obrnut na banneru.

Qi formule se rijetko koriste u jakim numeričkim izrazima. Procijenite, koliko je jak smrad, moguće je manje od sat vremena prevladati logaritamske jednakosti i nedosljednosti.

Vtím, ê zavdannya, yakí vzagalí ne vipíshuyutsya ínakshe poput prijelaza na novi temelj. Pogledajmo nekoliko od njih:

Menadžer. Pronađite vrijednost virusa: log 5 16 log 2 25.

Važno je da u argumentima oba logaritma postoje točni koraci. Vinesemo indikatori: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

A sada "okrećemo" još jedan logaritam:

[Potpisano malenom]

Krhotine za permutaciju množitelja se ne mijenjaju, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim razvrstali logaritmima.

Menadžer. Pronađite vrijednost virusa: log 9100 lg 3.

Potkrijepljujući taj argument prvim logaritmom - točni koraci. Zapišimo sljedeće i probudimo prikaze:

[Potpisano malenom]

Sada se riješimo desetog logaritma, prijeđući na novu bazu:

[Potpisano malenom]

Osnovni logaritamski totalitet

Često je u procesu crtanja potrebno prikazati broj kao logaritam na zadanoj osnovi. U ovoj vipadki pomoći će nam formule:

Prvi ima broj n postaje pokazatelj koraka koji stoji kod argumenta. Broj n može biti apsolutno be-yakim, čak i ako je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula zapravo je parafraza imenovanja. Ovako se zove: glavni logaritamski identitet.

Istina, što će biti, kao broj b poziv u takvom koraku da broj b u kojem koraku dajte broj a? Ispravno: vidi broj a. S poštovanjem pročitajte još jednom ovaj odlomak - puno se netko "visi" na novom.

Slično formuli klipa novog temelja, osnovni logaritamski identitet je isti kao i jedina moguća rješenja.

Menadžer. Saznajte značenje virusa:

[Potpisano malenom]

S poštovanjem, taj log 25 64 = log 5 8 - samo su uzeli kvadrat zamjene logaritma za argument. Vrakhovuchi pravila za množenje koraka na istoj osnovi, potrebno je:

[Potpisano malenom]

Čak i ako netko nije upućen, bilo je potrebno konzultirati zadatak EDI :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

Nasamkinets ću donijeti dvije toto- niti, koje se mogu zgodno nazvati autoritetima - shvidsche, cijena tragova je upotreba logaritma. Smrad stalno cvrkuta na voditelje i, što je divno, stvara probleme "zaglavljenim" studentima.

1. log a a= 1 – integralna logaritamska jedinica. Zapamtite to jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a u svjetlu čega, pružiti dobar.
2. log a 1 = 0 - cijeli broj logaritamska nula. podstava a možeš i takav, ali ako stojiš sam u svađi - logaritam je jednak nuli! Jer a 0 = 1 - ovo je izravna dodjela.

Osovina i sve moći. Obov'yazkovo praksa zastosovuvat ih u praksi! Nabavite varalicu na početku lekcije, proširite vijest i napišite zadatak.

Vrisak iz joge. Í dakle logaritam broja b na postolju a vynachaetsya kao pokanik korak, u kojem je potrebno nazvati broj a, uzeti broj b(Logaritam vrijedi samo za pozitivne brojeve).

Zašto je formula očita, što je računica x=log a b, jednako značajno rješenje a x = b. Na primjer, log 2 8 = 3 jer 8 = 2 3 . Formula za logaritam daje priliku donijeti što b=a, zatim logaritam broja b na postolju a dorivnyuê h. Također je jasno da je tema logaritma usko povezana s temom koraka broja.

S logaritmima, kao i s bilo kojim brojevima, možete pobijediti operacije sklapanja, vídnímannya i transformirati sve. Ale, kroz te logaritme - ne poznajemo obične brojeve, ovdje postavljamo svoja posebna pravila, kako se zovu glavne vlasti.

Preklapanje da vídnímannya logaritmi.

Uzmite dva logaritma s istim podstanicama: log xі prijavite se. Todi s njima možete izvršiti operaciju preklapanja i vídnímannya:

log a x + log a y = log a (x y);

log a x - log a y = log a (x: y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

W teorem o logaritmu privatnog Možete uzeti još jednu potenciju logaritma. Zagalnovídomo, sho log a 1= 0, kasnije,

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

A to znači maê mistse rivníst:

log a 1/b = - log a b.

Logaritmi dvaju međusobno invertiranih brojeva upravo iz tog razloga oni će biti različiti jedni od drugih i bit će međusobno poznati. Tako:

Log 3 9 = - log 3 1/9; log 5 1/125 = -log 5 125.

Korínov logaritam od pozitivnog broja dodajte logaritam virase korijena, podijeljen s indikatorom korijena:

Ja stvarno, pod sat rada s koracima vikoristovuetsya zalezhníst, zatim, nakon zastosuvav korak logaritam teorem i uzeti ovu formulu.

Zastosuêmo je u praksi, možemo vidjeti kundak:

Na viši problem za poznavanje logaritma mužnja se često pokazuje otrcanom u obliku logaritama na istoj osnovi (na primjer, a) idite na logaritme iz druge baze (na primjer, h) . U takvim situacijama dolazi formula:

Kada tsimu maêtsya na uvazi, scho a, bі hštoviše, izuzetno pozitivne brojke aі h nije jednak sam.

Da bismo dokazali vrijednost formule, ubrzavamo osnovni logaritamski totonizam:

Kako su pozitivni brojevi jednaki, onda su, očito, jednaki i njihovi logaritmi iz jednog te istog potkrijepljeni h. Tom:

Zastosuvši teorem o korak logaritmu:

Otzhe , log a b · log c a = log c b zvijezde i vjetar formula za promjenu baze logaritma.

PRIKAZANA JE LOGARITAMSKA FUNKCIJA VIII

§ 184. Korak i korijen logaritma

Teorem 1. Logaritam koraka pozitivnog broja je skuplji za dodavanje indikatora prvog koraka logaritmu njene baze.

Drugim riječima, poput a і x pozitivan a =/= 1, tada za bilo koji realni broj k

log a x k = k log a x . (1)

Da bismo dokazali ovu formulu, dovoljno je pokazati da

= a k log a x . (2)

= x k

a k log a x = (a log a x ) k = x k .

Vidimo valjanost formule (2), također i (1).

S poštovanjem, kakav broj k je prirodno ( k = n ), zatim formula (1)

log a (x 1 x 2 x 3 ... x n ) = log a x 1+log a x 2+log a x 3 + ...log a x n .

donio na prvi paragraf. Točno, poštujući ovu formulu

x 1 = x 2 = ... = x n = x ,

prihvacamo:

log a x n = n log a x .

1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;

2) log 3 2 √ 3 = √3 log 3 2.

s negativnim vrijednostima x Formula (1) koristi sens. Na primjer, nije moguće napisati log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4), rezultati virusa log 2 (-4) se ne dodjeljuju. S poštovanjem, ono što je viraz, ono što je u lijevom dijelu formule, ima smisla:

log 2 (-4) 2 = log 2 16 = 4.

Vzagali, poput broja x negativan, zatim viraz log a x 2k = 2k log a x imenovan, krhotine x 2k > 0. Viraz je 2 k log a x vrijeme nema smisla. Za pisanje

Dnevnik a x 2k = 2k log a x

ne mogu Prote, možeš pisati

log a x 2k = 2k log a | x | (3)

Formulu Tsya lako je unijeti iz (1), pa vrahuvati, sho

x 2k = | x | 2k

Na primjer,

log 3 (-3) 4 = 4 log 3 | -3 | = 4 log 3 3 = 4.

Teorem 2. Logaritam korijena pozitivnog broja je isti kao logaritam korijena virase, podijeljen s indikatorom korijena.

Drugim riječima, poput brojeva a і x pozitivan, a =/= 1 i P je onda prirodan broj

log a n √x = 1 / n log a x

Pravi, n √x =. Za teorem

log a n √x = log a = 1 / n log a x .

1) log 3 √8 = 1/2 log 3 8; 2) log 2 5 √27 = 1/5 log 2 27.

pravo

1408

a) broj nazvati kvadratom;

b) izvaditi kvadratni korijen iz broja?

1409. Kako promijeniti cijenu trupca 2 a - dnevnik 2 b , poput brojeva a і b zamijenite ga sa:

a) a 3 to b 3; b) 3 a ta 3 b ?

1410. Znajući da je log 10 2 ≈ 0,3010, log 10 3 ≈ 0,4771, znati logaritme zamjene 10 brojeva:

8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9

1411. Pokažite da logaritmi zadnjih članova geometrijske progresije zadovoljavaju aritmetičku progresiju.

1412

na = dnevnik 3 x 2 to na = 2 log 3 x

Potaknite grafički prikaz ovih funkcija.

1413. Znati oprost od takvih preobrazbi:

log 2 1/3 = log 2 1/3

2 log 2 1/3 > log 2 1/3;

log 2 (1/3) 2 > log 2 1/3

(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;

\(a^(b)=c\) \(\Lijeva desna strelica\) \(\log_(a)(c)=b\)

Objasnimo jednostavnije. Na primjer, \(\log_(2)(8)\) je napredni korak, morate pozvati \(2\) da biste uzeli \(8\). Izgleda kao (log_(2)(8)=3).

primijeniti:		\(\log_(5)(25)=2\)		jer \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		jer \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		jer \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument da baza logaritam

Može li bilo koji logaritam imati takvu "anatomiju":

Argument logaritma treba biti napisan jogo jednakim, a baza - običnim fontom bliže znaku logaritma. A ovaj unos glasi ovako: "logaritam od dvadeset pet pet na supstituentu pet pet."

Kako izračunati logaritam?

Da biste izračunali logaritam - potrebno je uzeti u obzir napajanje: na primjer, svijet bi trebao znati osnovu, uzeti argument?

Na primjer, izračunajte logaritam: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Treba li svijet zvati \ (4 \), da uzme \ (16 \)? Očito prijatelj. Tom:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Treba li svijet znati \(\sqrt(5)\), da biste vi mogli uzeti \(1\)? A kakav ríven opljačkati, bio to broj samoće? Nula, super!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) U kojoj fazi trebate upisati \(\sqrt(7)\), da biste mogli odabrati \(\sqrt(7)\)? U peršu - je li broj u prvom koraku ljepši sebi.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) U istom svijetu, morate pozvati \(3\), da uzmete \(\sqrt(3)\)? Znamo koji je korak udarca, mislim kvadratni korijen je korak \(\frac(1)(2)\).

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

stražnjica : Izračunajte logaritam \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Riješenje :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Moramo znati vrijednost logaritma, značajno yogo za x. Sada ubrzavamo do zadanog logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Lijeva desna strelica\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Što znače \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dva, jer i taj, pa i veći broj može otkriti dvoje: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Razina snage ubrzano raste: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)=a^( m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Potkrijepiti istovjetnost, prijeći na istovjetnost indikacija
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnožite uvredljivi dio ljubomore s \(\frac(2)(5)\)
		Korin, scho wiyshov, i ê vrijednost logaritma

Vidpovid : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Jeste li ikada pogodili logaritam?

Sob tse zrazumíti, rozv'yazhemo r_vnyannya: \(3^(x)=9\). Samo pokupi \ (x \), tako da je ljubomora djelovala. Pa, \(x=2\).

A sada rozv'yazhit rivnyannya: \(3^(x)=8\). Os je s desne strane.

Najpametnije je reći: "x je tri puta manje od dva." Kako točno zapisujete broj? Za vidpovídí tse pitannya smislio sam logaritam. Možete to zapisati ovdje kao \(x=\log_(3)(8)\).

Želim tako reći \(\log_(3)(8)\), kao i biti logaritam - to je samo broj. Dakle, gledajući nijemo, pa kratko. Na to, yakbi mi je to htio zapisati ispred decimalnog razlomka, onda bi to izgledalo ovako: \ (1,892789260714 ..... \)

stražnjica : Uspon rijeke \(4^(5x-4)=10\)

Riješenje :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) i \(10\) ne daju nikakve zamjene. Dakle, ovdje ne možete bez logaritma. Ubrzavanje logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Lijeva desna strelica\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Obrnuto poravnanje poput zrcala, shob iks buv livoruch
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Prije nas. Pomakni (4) udesno. Í ne ulizivajte se logaritmu, postavljajući sebi novi jak na veliki broj.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Povećajmo razinu za 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Osovina je naš korijen. Dakle, gledajući šutke, ali ne birajte.

Vidpovid : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimale i prirodni logaritmi

Kao što je dodijeljeno dodijeljenom logaritmu, njegova baza može biti pozitivan broj, krím jedan ((a>0, a\neq1)). Í srednji raspon mogućih trafostanica je dvije toliko često da su za logaritme smislili posebnu kratku oznaku:

Prirodni logaritam: logaritam čija je baza Eulerov broj \(e\) (jednako približno \(2,7182818…\)), a takav logaritam se piše kao \(\ln(a)\).

Tobto, \(\ln(a)\) isto kao \(\log_(e)(a)\)

Decimalni logaritam: logaritam koji ima bazu 10 piše \(\lg(a)\).

Tobto, \(\lg(a)\) isto kao \(\log_(10)(a)\), De \(a\) - Deakeov broj.

Osnovni logaritamski totalitet

Logaritmi imaju mnogo moći. Jedan od njih nosi naziv "Osnovni logaritamski totonizam" i izgleda ovako:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Tsya vlastivist utječeya bez posrednika z vyznachennya. Pitamo se kako je nastala sama formula.

Napravimo kratku zabilješku za logaritam:

ako \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)

Odnosno, \(b\) je isto što i \(\log_(a)(c)\). Također možemo napisati \(\log_(a)(c)\) zamijeniti \(b\) za formulu \(a^(b)=c\). Wiishlo \(a^(\log_(a)(c))=c\) je glavni logaritamski identitet.

Možete znati više o snazi ​​logaritama. Uz ovu pomoć, možete pitati i brojati vrijednosti virusa s logaritmima, kao "na čelu" to je jednostavno.

stražnjica : Pronađite vrijednost virazu \(36^(\log_(6)(5))\)

Riješenje :

Vidpovid : \(25\)

Kako napisati broj u logaritmu?

Kako je bulo dodijeljeno više - bio to logaritam samo broj. Verno i zvorotne: može li se broj napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \(\log_(2)(4)\) jednako dva. Tada možete napisati umjesto dva \(\log_(2)(4)\).

Ali \(\log_(3)(9)\) također je poznat kao \(2\), tako da možete napisati i \(2=\log_(3)(9)\). Slično, í \(\log_(5)(25)\), í z\(\log_(9)(81)\), í itd. Tobto, izađi

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Tako, kako nam je potrebno, možemo de zavgodno (pa makar bilo jednako, ako je izraženo, ako je neravnomjerno) zapisati dvojku kao logaritam s bilo kojom osnovom - baš kao i argument, zapisujemo osnovu u kvadratima.

Dakle, to je samo í s trostrukim - nje se može napisati kao \(\log_(2)(8)\), ili kao \(\log_(3)(27)\), ili kao \(\log_(4)( 64) \)… Ovdje, kao argument, zapisujemo bazu u kocki:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Í s četverkoj:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Í h minus usamljenost:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 ) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\ frac (1)(7)\)\(...\)

Í je jedna trećina:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Može li se broj \(a\) predstaviti kao logaritam s bazom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

stražnjica : Saznajte što znači virus \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Riješenje :

Vidpovid : \(1\)