За да е възможно да се начертае една равнина през три точки от пространството, е необходимо тези точки да не лежат на една и съща права линия.

Нека да разгледаме точките M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) в горната декартова координатна система.

За да може достатъчна точка M(x, y, z) да лежи в същата равнина като точките M 1 M 2 M 3, е необходимо векторите да са компланарни.

(
) = 0

по такъв начин,

Равнина на равнината, която минава през три точки:

Нивелиране на равнината зад две точки и вектора, колинеарната равнина.

Нека дадените точки M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) i вектор
.

Нека направим равнината равна да минава през дадените точки M 1 и M 2 и точната точка M (x, y, z), успоредна на вектора .

Вектори
та вектор
mayut buti complanarnі, tobto.

(
) = 0

Равност на площта:

Подравняване на равнината с една точка и два вектора,

колинеарни равнини.

Дайте на задачата два вектора
і
, колинеарни равнини. Тогава за достатъчна точка M (x, y, z), които лежат плоски, вектори
да бъде копланарен.

Равност на площта:

Подравняване на областта зад точката и нормалния вектор .

Теорема. Докато на пространството е дадена точка М 0 (Х 0 , г 0 , z 0 ), тогава равнината е равна на минаваща през точка М 0 перпендикулярно на нормалния вектор (А, б, ° С) може да изглежда така:

А(х – х 0 ) + б(г – г 0 ) + ° С(z – z 0 ) = 0.

Привеждане. За достатъчна точка M (x, y, z), която лежи на равнината, добавяме вектор. защото вектор - Нормалният вектор, след това перпендикулярът на равнината и също перпендикулярът на вектора i
. Тоди скалар твир

= 0

В този ранг е необходимо да се изравни площта

Теоремата е завършена.

Изравняване на апартамента при валовете.

Като дивак равен Ax + Wu + Сz + D = 0 добавете обидни части към (-D)

,

заместване
, Ние премахваме плоскостта на зоната при вентилационните отвори:

Числата a, b, c са точките от напречното сечение на равнината по осите x, y, z.

Плоскост на областта на векторната форма.

де

- радиус-вектор на точката на потока M(x, y, z),

Единичен вектор, който може да бъде прав, перпендикулярен, спуснат до равнината на кочана от координати.

,  и  - кути, създадени от вектора с оси x, y, z.

p - Дължина на втория перпендикуляр.

В координатите на целта можете да видите:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Vídstan víd точка към равнината.

Vídstan víd dovílnoї точка M 0 (x 0, y 0, z 0) към равнината Ax + Wu + Сz + D = 0 още:

дупето.Познайте подравняването на равнината, като знаете, че точката P (4; -3; 12) е основата на перпендикуляра, спуснат до кочана от координати на равнината.

В този ред A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, ускорено по формулата:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

дупето.Намерете нивото на равнината, която преминава през две точки P(2; 0; -1) и

Q(1; -1; 3) перпендикулярна на равнината 3x + 2y - z + 5 = 0.

Нормален вектор към равнината 3x + 2y - z + 5 = 0
успоредна на равнината на шукания.

Ние взимаме:

дупето.Намерете нивото на равнината, която минава през точките A(2, -1, 4) и

В(3, 2, -1) перпендикулярна на равнината х + при + 2z – 3 = 0.

Зоната за изравняване на Shukane може да изглежда: A х+Б г+C z+ D = 0, нормален вектор към равнината (A, B, C). вектор
(1, 3, -5) лежи хоризонтално. Дадена ни е равнина, която е перпендикулярна на повърхността на нормалния вектор. (1, 1, 2). защото точки A и B лежат на двете равнини и равнините са взаимно перпендикулярни, тогава

По този начин нормалният вектор (11, -7, -2). защото точка А лежи на равнината на шукано, нейните координати на разлома са доволни от нивото на равнината, тогава. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

Също така е необходимо да се изравни площта: 11 х - 7г – 2z – 21 = 0.

дупето.Познайте подравняването на равнината, като знаете, че точката P (4, -3, 12) е основата на перпендикуляра, спуснат до кочана от координати на равнината.

Знаем координатите на нормалния вектор
= (4, -3, 12). Нивото на Shukane на района може да изглежда: 4 х – 3г + 12z+ D = 0. За стойността на коефициента D представяме равните координати на точката Р:

16+9+144+D=0

Otzhe, otrimuemo shukane равно: 4 х – 3г + 12z – 169 = 0

дупето.Като се имат предвид координатите на върховете на пирамидата A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Намерете дължината на ръба A1A2.

Познайте разреза между ребрата A1A2 и A1A4.

Познайте разреза между ръба A1A4 и фасетката A1A2A3.

На гърба знаем нормалния вектор към лицето A1A2A3 як вектор tvir вектор_v
і
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Знаем разреза между нормалния вектор и вектора
.

-4 – 4 = -8.

Shukany kut  между вектора и равнината на пътя  = 90 0 - .

Намерете площта на лицето A 1 A 2 A 3.

Знайте obsyag piramidi.

Познайте подравняването на областта A1A2A3.

Ускоряване с формулата за изравняване на площта, която минава през три точки.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

С алтернативна компютърна версия “ Курс по математика за напреднали” можете да стартирате програмата, така че да можете да разгледате по-добър пример за всякакви координати на върховете на пирамидата.

За да стартирате програмата, щракнете двукратно върху иконата:

В края на програмата, която се появи, въведете координатите на върховете на пирамидата i, натиснете Enter. В такъв ранг, според вашата воля, можете да отнемете всички точки на решение.

Забележка: За да стартирате програмата, трябва да имате инсталиран Maple (Waterloo Maple Inc.) на вашия компютър, независимо от версията, започвайки с MapleV Release 4.

За да вземем дълбока плоскост на равнината, ще анализираме равнината през дадена точка.

Хайде в откритото пространство три вече са ни дадени координатни оси - вол, Охі Оз. Използваме арката от хартия по такъв начин, че вината да станат плоски. Самият Аркуш ще бъде равна площ и йога ще се извършва по всички прави линии.

Хайде Пдоста равна зона в близост до пространството. Кожата, перпендикулярна на вектора, се нарича нормален вектор на повърхността. Zvichayno, върви около ненулев вектор.

Както се вижда като точка от равнината Пи ако има нормален вектор към него, тогава от умовете на два ума се присвоява площта на пространството(През дадена точка може да се прекара една равнина, перпендикулярна на даден вектор). Zagalne r_vnyannya matime квадрат изглеждаше:

Otzhe, помислете какво е нивото на района, є. Ридай вземи го сам изравняване на площта, което може да се посочи по-ясно, взето на плоскост Ппочти точка М със сменени координати х, г, z. Tsya точка да лежи плоско е по-малко за този, ако вектор перпендикулярен вектор(Фиг. 1). За това е необходимо и достатъчно скаларното събиране на тези вектори да е равно на нула, така че

Векторът е даден от ума. Координатите на вектора са известни по формулата :

.

Сега, vikoristovuyuchi формула скаларно създаване векторів , Можем да видим скаларното тяло в координатна форма:

Oskilki точка M(x; y; z)достатъчно на плоскостта, тогава останалата част от равнината се задоволява с координатите на всяка точка, която лежи на плоскостта П. За точка н, която не лежи на дадена равнина, , тогава. спокойствието (1) е унищожено.

пример 1.Сплескайте равнината така, че да премине през точка, която е перпендикулярна на вектора.

Решение. Използваме формула (1), отново се учудваме на това:

Имате tsіy формули числа А , бі ° Скоординатите на вектора и числата х0 , г0 і z0 - координати на точки.

Изчислението е още по-просто: ние заместваме числата qi с формулата, която вземаме

Умножаваме всичко, което трябва да се умножи и събираме просто числа (като без букви). Резултат:

.

Необходимото нивелиране на равнината, при която задницата се показва до най-високите нива на първата стъпка, но до промяната на координатите x, y, z prevіlnoї точки на равнината.

Otzhe, равен на ума

Наречен до дълбокото ниво на района .

дупе 2.Индуцирайте правоъгълна декартова координатна система, за да има равнина, дадена от равенства .

Решение. За да се предизвика равнина, е необходимо и достатъчно да се знаят три нейни точки, така че да не лежат на една права линия, например точките на напречната греда на равнината с координатните оси.

Как да познаем чи точките? Schob да знаете точката на пресичане от линията Оз; х = г= 0. z= 6 . В този ред зоната на перетина Озв точката А(0; 0; 6) .

Така че знаем точката на напречната греда на областта отгоре Ох. При х = z= 0 приемливо г= −3 , тогава б(0; −3; 0) .

І, нарести, ние знаем кръстопътната точка на нашата област от върха вол. При г = z= 0 се приема х= 2, тогава ° С(2; 0; 0) . За три пъти отнемаме точки за решение А(0; 0; 6) , б(0; −3; 0) и ° С(2; 0; 0) площта ще бъде дадена.

Нека да погледнем сега okremі vypadki zagalnogo rіvnyannya plaschiny. Tse vipadki, ако tі chi іnshі coefіtsієnti равни (2) се преобразуват в нула.

1. Кога D= 0 дефинира областта за преминаване през кочана от координати, фрагменти от координатни точки 0 (0; 0; 0) удовлетворява всеки, който е равен.

2. Кога А= 0 определя равнина, успоредна на оста вол, oskílki е нормалният вектор на равнината на перпендикулярите към оста. вол(його проекция като цяло воле равно на нула). По същия начин, когато B= 0 плоски успоредна на оста Ох, и когато C= 0 плоски успоредна на оста Оз.

3. Кога A=D=Нивелирането 0 определя площта, която да премине през цялото волпарчета спечели успоредно на оста вол (А=D= 0). По същия начин равнината преминава през цялото Ох, а района през Оз.

4. Кога A=B= 0 подравняване определя равнина, успоредна на координатната равнина xOyпарчета спечели успоредно на осите вол (А= 0) това Ох (б= 0). По същия начин равнината е успоредна на равнината yOz, а площта е площта xOz.

5. Кога A=B=D= 0 изравняване (в противен случай z= 0) обозначават координатната равнина xOyфрагментите са успоредни на равнината xOy (A=B= 0) преминавам през кочана от координати ( D= 0). По същия начин, равни y= 0 за пространство определя координатната равнина xOz, и равно x= 0 - координатна равнина yOz.

Пример 3.Сплескайте самолета П, шо мине през Охпосочвам.

Решение. Otzhe, зоната за преминаване през цялата Ох. Следователно, тя е равна г= 0 За определяне на коефициентите Аі ° Сние ускоряваме времето, че точката е плоска П .

Следователно средните й координати са така, че може да се постави на плоска равнина, както вече сме показали (). Нека погледнем отново координатните точки:

М0 (2; −4; 3) .

Между тях х = 2 , z= 3 . Заменяйки ги с равни на клеветнически ум, това е равен мач за нашия okremny vpadku:

2А + 3° С = 0 .

Прибързано 2 Ав лявата част на реката, допустимо 3 ° Свдясно част от това се отнема

А = −1,5° С .

Заместване на известната стойност Ав еднаква степен, otrimaemo

или .

Tse i є ryvnyannya, трябва да измиете дупето.

Проверете независимо плана за плоскостта на квадрата и след това прегледайте решението

Пример 4.Обозначете площта (или равнините, тъй като има повече от една) според координатните оси или координатните равнини, така че площта да е равна.

Вариант на типични задачи, които се използват при управляващи роботи - от помощната книга "Завданя в равнината: паралелност, перпендикулярност, припокриване на три равнини в една точка".

Равнина на равнината, която минава през три точки

Както вече се предположи, необходимо е да има достатъчно интелектуална повърхност за повърхността, но има само една точка и нормален вектор, а има и три точки, така че не лежете на една права линия.

Нека ви дам три различни точки, i, които не лежат на една права линия. Тъй като трите точки са определени да не лежат на една и съща права линия, вектори и не са колинеарни, тогава дали точката на равнината лежи в същата равнина с точките копланарен, tobto. тогава и само тогава, ако zmіshany tvіr tsikh vektorіvедна нула.

Vykoristovuyuchi viraz zmíshanogo creativ в координати, otrimaemo равна площ

(3)

След rozkrittya vyznachnika tse vnyannya става vyvnannyam ум (2), тогава. zagalnym апартаменти на района.

Пример 5.Сгънете плоски равнини, които минават през дадени три точки, които не лежат на една права линия:

това означава okremiya vpadok zagalnogo ryvnyannya права линия, като такова място.

Решение. За формула (3) можем:

Нормална плоскост. V_dstan v_d сочи към равнината

Нормалното подравняване на областта се нарича нейно подравняване, написано като

Може да се задава по различни начини (една точка и вектор, две точки и вектор, три точки и ин.). Аз самият гледам нивелацията на карето, вижда се майката на разликата. Освен това, в случай на пеещи умове преди тримана, равнините могат да бъдат успоредни, перпендикулярни, така че да се припокриват и т.н. Нека поговорим за tse iy statti. Научаваме как да сгъваме плоската плоскост и не по-малко.

Нормален изглед

Допустимо е пространство R 3, което може да бъде правоъгълна координатна система XYZ. Задаваме вектора α, който ще бъде входът от точката на кочана O. През края на вектора α прекарваме равнината P, сякаш е перпендикулярна на новата.

Достатъчно значима на Π е определена точка Q = (x, y, z). Радиус векторът на точката Q е подписан с буква. Когато дължината на вектора е по-голяма, p=IαI и Ʋ=(cosα, cosβ, cosγ).

Това е един вектор, който е права линия ub_k, който е вектор α. α, β і γ - tse kuti, yakí utvoryuyutsya между вектора и положителни прави линии на осите към пространството x, y, z е ясно. Проекция на точка Q? към вектор? є с постоянна стойност, като старо p: (p,?) \u003d p(p?0).

Присвоява се изравняване, ако p \u003d 0. Едната, равнината P в другата посока, променя точката O (α \u003d 0), като кочан от координати, i е единичен вектор Ʋ, пропуски от точка O, ако е перпендикулярен на P, без отношение към йога директно, което означава, че векторът Ʋ е определен точно до знака. Предната линия е равна на нашата повърхност P, изразът е във векторна форма. И оста y на йога координатите ще изглежда така:

R тук е повече или по-малко 0. Знаехме равнинността на зоната близо до откритото пространство по нормален начин.

Загалне ривняння

Ако е равен по координати, умножаваме го по това дали е число, ако сборът не е нула, вземаме равен равен, еквивалентен на дадения, който определя точно тази площ. Vono matime изглежда така:

Тук A, B, C са целите числа, които едновременно са равни на нула. Линията се нарича линия на повърхността на блед вид.

Изравняване на апартаменти. Частни случаи

Перфектността на визуалното може да се разглежда като очевидността на адитивните умове. Да видим делата им.

Да приемем, че коефициентът A е равен на 0. Tse означава, че дадената площ е успоредна на дадената ос Ox. И тук видът на подреждането се променя: Ву+Cz+D=0.

По същия начин изглеждането на равни се променя за такива умове:

• Първо, ако B = 0, тогава подравняването ще се промени на Ax + Cz + D = 0, което показва успоредността на оста Oy.
• По различен начин, като C=0, тогава подравняването се трансформира в Ax+Vu+D=0, което е около паралелност на дадената ос Oz.
• Трето, тъй като D=0, подравняването ще изглежда като Ax+By+Cz=0, което е значително, така че областта се променя O (кочанът на координатите).
• Четвърто, ако A=B=0, тогава подравняването ще се промени на Cz+D=0, което води паралелизма до Oxy.
• С други думи, ако B = C = 0, тогава подравняването става Ax + D = 0, а ce означава, че равнината на Oyz е успоредна.
• В интерес на истината, като A=C=0, тогава в бъдеще ще разгледам Вu+D=0, така че нека си спомним за паралелизма на Oxz.

Гледайки право във ветровете

Подобно на числата A, B, C, D под формата на нула, видът на равенството (0) може да се приближи:

x/a + y/b + z/c = 1,

в yakomu a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, \u003d -D / C.

В резултат на Varto се приема, че дадената повърхност ще бъде променена всички Ox в точки с координати (a,0,0), Oy - (0,b,0) и Oz - (0,0,c).

Не е важно визуално да се покаже разположението на площта според дадената координатна система.

Нормални векторни координати

Нормалният вектор n към равнината P няма координати, които са коефициентите на централното подравняване на дадената равнина, тоест n (A, B, C).

За да се определят координатите на нормалата n, да се постигне представата за по-високо ниво на дадената равнина.

Когато променяте подреждането на ветровете, което може да изглежда като x/a + y/b + z/c = 1, като и за изменението на глобалното подравняване, можете да запишете координатите на всеки нормален вектор на дадената област : (1/a + 1/b + 1/c).

Варто посочва, че нормалният вектор помага за решаването на различни задачи. Най-широки са задачите, които са свързани с доказване на перпендикулярност или успоредност на равнини, задачата за намиране на разрез между равнини или разрез между равнини и прави.

Изглед на подравняването на равнината с координатите на точката и нормалния вектор

Ненулев вектор n, перпендикулярен на дадена равнина, се нарича нормален (нормален) за дадена равнина.

Да приемем, че е дадено координатното пространство (правоъгълна координатна система) Oxyz:

• точка Mₒ с координати (xₒ, yₒ, zₒ);
• нулев вектор n = A * i + B * j + C * k.

Необходимо е равнината да се сплеска, така че да преминем през точката Mₒ, перпендикулярна на нормалата n.

В пространството ние избираме дали има достатъчна точка, която по смисъл е M (x y, z). Нека радиус векторът на точката M (x, y, z) е r=x*i+y*j+z*k, а радиус векторът на точката Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=хₒ* i +yₒ *j+zₒ*k. Точката M лежи в дадената равнина, така че векторът MₒM ще бъде перпендикулярен на вектора n. Нека напишем ортогоналността на ума зад помощта на скаларното творение:

[MₒM, n] = 0.

Oskílki MₒM = r-rₒ, векторът не е равен на равнината, както следва:

Cervnyannya може да приеме различна форма. За това силите на скаларното творение побеждават и лявата страна се трансформира. = -. Ако вземете c, тогава ще видите подравняването: - c \u003d 0 или \u003d c, което показва броя на проекциите върху нормалния вектор на радиус-вектора на дадените точки, които лежат до равнината.

Сега можете да вземете координатния изглед на записа на векторното подравняване на нашата област = 0. Мащаби r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, и n = A*i+B * j + C * k, можем:

За да излезем, имаме плоска равнина, която минава през точката перпендикулярно на нормалното n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Изглед на подравняването на равнината с координатите на две точки и векторната, колинеарна равнина

Дадени са две пълни точки M '(x', y', z') и M'(x', y', z'), както и векторът a (a', a', a').

Сега можем да съберем дадената равнина, така че да преминем през действителните точки M′ и M″, както и дали точката M іz с координати (x, y, z) е успоредна на дадения вектор a.

Ако е така, векторите M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) и M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) могат да бъдат компланарни с вектора a \u003d (a ′, a ″, a ‴), а ce означава, че (M′ M, M ″ M, a) \u003d 0.

Otzhe, нашето изравняване на зоната близо до простора изглежда така:

Виждайки равнината на равнината, която пресича три точки

Да кажем, че имаме три точки: (x', y', z'), (x', y', z'), (x‴, y‴, z‴), така че те не лежат на една права линия . Необходимо е да се напише нивото на равнината, която минава през три точки. Теорията на геометрията твърди, че такава равнина е практически валидна, оста е само една и същата не се повтаря. Oskílki tsya равнина peretinaê точка (x ′, y ′, z ′), изгледът на нейното rivnyannya ще бъде атакуван:

Тук A, B, Z виждат нула едновременно. Дадена е и площта, пресичаща още две точки: (x ", y", z ") i (x, y, z,).

Веднага можем да съберем хомогенна система с незаменими u, v, w:

Понякога x, y или z се появяват като красива точка, сякаш сте доволни от равно (1). Vrahovyuchi rіvnyannya (1) тази система на rіvnyan (2), че (3), системата на rіvnyan, присвоена на малкото, удовлетворява вектора N (A, B, C), който е нетривиален. Също така сигнификаторът на стойността на системата е равен на нула.

Rivnyannya (1), yak mi otrimali, tse i е равна плоскост. През три точки е точно за преминаване и е лесно да се тълкува погрешно. За кого е необходимо да изложим нашия олтар за елементите, които са на първия ред. От основните правомощия на сигнификатора е очевидно, че нашата област едновременно измества три последователни точки (x', y', z'), (x', y', z'), (x‴, y‴, z‴ ). Tobto we virishi постави пред нас задачата.

Двустранен разрез между плоските

Двулицевият кут е просторна геометрична фигура, съставена от две плоски повърхности, сякаш излизащи от една права линия. С други думи, това е част от пространството, сякаш е заобиколено от тези плоски площи.

Да кажем, че имаме два апартамента с напредващи равенства:

Знаем, че векторите N=(A, B, C) и N?=(A?, B?, C?) са перпендикулярни на дадените равнини. При връзката с cim cut φ между векторите N и N¹ dorívnyuê kutu (двулицев), който се намира между тези равнини. Скаларната телевизия може да изглежда:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

до това много

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Достатъчно е да излъжем, че 0≤φ≤π.

Всъщност две равнини, които се припокриват, правят две кути (двулицеви): φ 1 и φ 2. Сумата от тяхната цена е π (φ 1 + φ 2 = π). Що се отнася до цената на техния косинус, тогава техните абсолютни стойности са равни, но се различават по знаци, така че cos φ 1 = -cos φ 2. Ако в равенство (0) замените A, B и C с числата -A, -B и -C, това е ясно, тогава равното, както изваждаме, е значимо за самата равнина, едно, изрязване φ за равно cos φ = NN 1 /| N||N 1 | ще бъде заменен с π-φ.

Подравняване на перпендикулярната равнина

Перпендикулярни се наричат ​​равнини, между които са равни на 90 градуса. Vicorist материал, има повече вноски, можем да знаем нивото на равнината, перпендикулярна на външната страна. Да кажем, че имаме две равнини: Ax+By+Cz+D=0 и A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Можем да се уверим, че са перпендикулярни, т.е. cosφ=0. Tse означава, че NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Подравняване на успоредната равнина

Два апартамента се наричат ​​успоредни, сякаш за да отмъстят за горещи точки.

Умова (их равна на y, scho y в предната точка) смята, че векторите N и N¹, които са перпендикулярни на тях, са колинеарни. И това означава, че се отчитат такива пропорции:

A/A?=B/B?=C/C?.

Как да разбираме пропорциите и разширенията - A/A?=B/B?=C/C?=DD?,

tse да се провери с факта, че тези области са zbígayutsya. И tse означава, че подравняването на Ax+By+Cz+D=0 и A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 описват една равнина.

Отидете до самолета от точката

Да приемем, че можем да имаме площта P, тъй като е дадена равна на (0). Необходимо е да се знае броя на точките с координати (хₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. За целта е необходимо нивелацията на площта P да се приведе в нормален вид:

(ρ,v)=p (p≥0).

U по ρ (x, y, z) е радиус-векторът на нашата точка Q, разпръснат върху P, p е дължината на перпендикуляра P, който е нулевата точка, v е единичният вектор, разпръснат по правата линия а.

Разликата ρ-ρº на радиус-вектора на точка Q=(x, y, z), която лежи P, както и радиус-вектора на дадена точка Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) - като вектор, абсолютната стойност на проекцията на такова върху v dorivnyuє vіdstanі d, е необходимо да се знае vіd Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) до P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, але

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) = p-(ρ 0 ,v).

Оста излизам,

d=|(ρ0,v)-p|.

Otzhe, ние знаем абсолютното значение на otrimana vyslovlyuvannya, tobto shukane d.

Vikoristovuyuchi mov parametrіv, otrimuєmo по-очевидно:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Ако е дадена точката Q 0, тя трябва да се намира от долната страна на равнината P, ако е кочанът на координатите, между вектора ρ-ρ 0 i v трябва да се знае, както следва:

d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-p>0.

Ако точката Q 0 е успоредна на кочана от координати, тя се намира от самата страна на изгледа P, тогава е готино, какво се случва, домакин, tobto:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Резултатът излиза, че първият има (ρ 0 ,v)>р, другият има (ρ 0 ,v)<р.

Стосовна плоска и равна

Как да докоснете повърхността до повърхността в точката dotik Mº - същата област, която може да покрие всички възможни точки на кривите, начертани през тази точка на повърхността.

При такъв вид подравняването на повърхността F(x, y, z)=0 ще изглежда така:

F x (xº, yº, zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Ако зададете повърхността на изричната форма z = f (x, y), точковата област ще бъде описана равна:

z-zº \u003d f (xº, yº) (x-xº) + f (xº, yº) (y-yº).

Retin две плоски

Координатната система (правоъгълна) Oxyz е разширена, дадени са две равнини П′ и П″, така че се припокриват и не се променят. Частите, независимо дали са плоска област, която е в правоъгълна координатна система, са присвоени на високи нива, ще вземем предвид, че P′ и P″ са определени от линиите A′x + B′y + C′z + D′ = 0 и A″x + B ″y+ З z + D = 0. В този случай нормалата n′ (A′, B′, C′) на площта П′ и нормалата n″ (A ″, B″, C″) от зоната P″. Частите на нашите равнини не са успоредни и не се движат, тези вектори не са колинеарни. Използвайки езика на математиката, mi qiu Umov може да се запише по следния начин: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Нека е права, сякаш лежи на правата P′ и P″, се означава с буквата a, в който случай a = P′ ∩ P″.

a - тази права линия, която се състои от множество точки на (високи) равнини P′ и P″. Tse означава, че координатите на всяка точка, която лежи права a, дължат един час, за да удовлетворят равенството A′x+B′y+C′z+D′=0 и A″x+B″y+C″z+ D″ =0. По-късно координатите на точката ще бъдат частна връзка на офанзивната система за подравняване:

В резултат на това се оказва, че решението (остро) на системата е равно на координатите на кожата от точките на правата линия, тъй като точката е точката на линията P′ и P ″, а правата линията е значима в координатната система Oxyz (правоъгълна) в пространството.

Ако всички числа A, B, C и D са равни на нула, тогава се нарича плоска равнина помня. В противен случай се нарича гореща плоскост на зоната неразбираем.

Нека да разгледаме всички възможни дълбоки неравномерни равнини на равнината на правоъгълната координатна система Oxyz в тривимерното пространство.

Нека D = 0, в противен случай може да е по-неравномерно равно на равнината на ума. Tsya равнина в правоъгълната координатна система Oxyz преминава през кочана от координати. Всъщност при задаване на координатите на точката разликата не е точно равна на равнината, стигаме до еднаквост.

В , или , или може би загални неравномерна плоскост на апартаментите , или , или е ясно. Поставете равнините успоредни на координатните равнини Oxy , Oxz и Oyz по разумен начин (удивете се на паралелизма на ума на равнините) и преминете през точките и очевидно. При. Oskilki точка лежи плоско зад ума, тогава координатите на тази точка трябва да бъдат удовлетворени от плоскостта на плоскостта, така че плоскостта да може да бъде справедлива. Ние знаем. В този ранг може да изглежда shukane rivnyannya.

Ще предизвикаме друг начин за rozv'yazannya tsgo zavdannya.

Тъй като равнината, която е равна на това, което трябва да сгънем, е успоредна на равнината Oyz , тогава в нормалния вектор можем да вземем нормалния вектор на равнината Oyz . Нормалният вектор на координатната равнина Oyz е координатният вектор. Сега знаем нормалния вектор на равнината и точката на равнината, така че можем да я запишем по-равно (подобно на дадените, те бяха написани в предния параграф на статията):
, Тоди нейните координати се дължат на удовлетворението на равнинността на района. Татко, справедливостта е справедлива познаваме звездите. Сега можем да напишем по-плоска област, както виждаме.

Внушение:

Списък на литературата.

• Бугров Я.С., Микилски С.М. Вища математика. Том първи: Елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
• Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.