Логаритми, подобни и подобни числа, могат да се добавят, vіdnіmati и vіlyakо трансформиране. Але, логаритмите не познават абсолютните числа, тук има свои собствени правила, както се казва основните органи.

Правилата на Qi obov'yazkovo treba благородство - без тях никой не може сериозно да промени логаритмичната задача. Дотогава не са богати - всичко може да стане за един ден. Otzhe, нека го направим.

Сгъване и визуализиране на логаритми

Нека разгледаме два логаритма с еднакви основи: log а хи дневник а г. Тоди техните могат да бъдат сгънати и видяни, освен това:

1. дневник а х+дневник а г= дневник а (х · г);
2. дневник а х−дневник а г= дневник а (х : г).

Otzhe, сумата от логаритми е равна на логаритъма на творението, а разликата е на частния логаритъм. Върнете уважение: ключовият момент тук обаче обосновете. Yakshcho podstavi е razne, и правилата не работят!

Формулите Qi ще помогнат да се изчисли логаритмичната вираза, за да я намерите, ако другите части не се разстроят (божествен урок „Какво е логаритъм“). Вижте задниците и сменете:

log 6 4 + log 6 9.

Катериците дават еднакви логаритми, спечелете суми формулата:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Управител. Намерете стойността на вируса: log 2 48 − log 2 3.

Представете същата, победоносна формула на дребно:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Управител. Намерете стойността на вируса: log 3 135 − log 3 5.

Отново предлагам същото, така че може би:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Като бачит вирази сгънат от "мръсните" логаритми, като не се вълнуват. Но след това пермутацията се появява като цяло от нормални числа. На този факт бяха генерирани много контролни роботи. И така, контролът - подобно на сериозата (и практически без промени) се повишава до ЕД.

Индикатор за вино стъпка z логаритъм

Сега trochs могат да бъдат поставени в ред. Какво, каква е цената на стъпките за обосноваване на аргументите на логаритъма? Същият индикатор на коя стъпка може да бъде обвинен за знака на логаритъма за следните правила:

Няма значение да запомните, че следващото правило е първите две. Но по-добре от його, все пак, помнете - в такива случаи си струва да ускорите изчислението.

Zrozumіlo, всички tsі правила могат да бъдат усетени за добавяне на ODZ логаритъм: а > 0, а ≠ 1, х> 0. И още: zastosovuvaty всички формули yak zlíva надясно, и y navpaki, tobto. можете да въвеждате числа, които стоят пред знака на логаритъма, до самия логаритъм. Самото нещо е най-необходимото.

Управител. Намерете стойността на вируса: log 7 49 6 .

Нека направим стъпка в аргумента след първата формула:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Управител. Разберете значението на вируса:

[Подписано на малкия]

Уважително е, че банерът има логаритъм, основата на този аргумент е, че той е в точни стъпки: 16 \u003d 24; 49 = 72. Маемо:

[Подписано на малкия]

Мисля, че до останалата част от задника ще имам нужда от обяснение. Откъде идват логаритмите? До останалата част от момента, ние pratsyuєmo само банер. Поднесоха обосновка и аргумент на логаритъма, какво да стои там, при вида на стъпалата и изведоха показните хора - отнеха дрипа "тройно над главата".

Сега нека да разгледаме основния drіb. Номер едно и банерманът имат едно и също число: log 2 7. Oskilki log 2 7 ≠ 0, можем да ускорим drіb - банерманът ще загуби 2/4. Според правилата на аритметиката, четворката може да бъде прехвърлена в книгата с номера, която е била счупена. В резултат на това заключението беше: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за сгъване и добавяне на логаритми, специално предложих, че вонята е по-вероятно да се разработи за същите стойности. И какво, ако дадете разлика? Какво, ако вонята не е точните стъпки на същия номер?

За помощ елате формули на основата на нова основа. Ние ги формулираме като теорема:

Дайте датски логаритъм а х. Тоди за каквото и да е число ° Стакова, че ° С> 0 та ° С≠ 1

[Подписано на малкия]

Зокрема, остави го ° С = х, ние взимаме:

[Подписано на малкия]

От друга формула става ясно, че е възможно да се сменят местата, като се обоснове този аргумент с логаритъм, но с него тогава всички вирази се „преобръщат“. логаритъма е обърнат на банера.

Формулите Qi рядко се използват в силни числови изрази. Преценете колко силна е миризмата, възможно е за по-малко от час да преодолеете логаритмичните равенства и несъответствия.

Vtіm, е zavdannya, yakí vzagalі не vipіshuyutsya іnakshe като преход към нова основа. Нека да разгледаме няколко от тях:

Управител. Намерете стойността на вируса: log 5 16 log 2 25.

Важно е в аргументите на двата логаритма да има точни стъпки. Индикатори на Vinesemo: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

И сега „преобръщаме“ друг логаритъм:

[Подписано на малкия]

Парчетата за пермутация на множителите не се променят, ние спокойно умножихме четири и две и след това сортирахме с логаритми.

Управител. Намерете стойността на вируса: log 9100 lg 3.

Обосновавайки този аргумент с първия логаритъм - точни стъпки. Нека запишем следното и нека събудим показванията:

[Подписано на малкия]

Сега нека се отървем от десетия логаритъм, преминавайки към нова основа:

[Подписано на малкия]

Основна логаритмична съвкупност

Често в процеса на рисуване е необходимо числото да се представи като логаритъм на дадена основа. В тази vipadka формулите ще ни помогнат:

Първият има номер нстава индикатор за стъпката, която стои при аргумента. Номер нможе да бъде абсолютно be-yakim, дори ако това е само стойността на логаритъма.

Другата формула всъщност е парафраза на назначението. Ето как се нарича: главното логаритмично тъждество.

Вярно, какво ще бъде, като номер bобадете се в такава стъпка, че броят bв която стъпка дайте номера а? Правилно: вижте номера а. Прочети пак този абзац с уважение - много някой "виси" на новия.

Подобно на формулата на кочана на нова основа, основната логаритмична идентичност е същата като единствените възможни решения.

Управител. Разберете значението на вируса:

[Подписано на малкия]

С уважение, този log 25 64 = log 5 8 - те просто взеха квадрата от заместването на логаритъма за аргумента. Правила на Vrakhovuchi за умножаване на стъпки на една и съща основа, е необходимо:

[Подписано на малкия]

Дори ако някой не е наясно, трябваше да се консултира със задачата на EDI :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

Nasamkinets Ще донеса две тотоности, които удобно могат да бъдат наречени авторитети - shvidsche, цената на следите е използването на логаритъм. Вонята непрекъснато цвърчат по ръководителите и, чудно, създават проблеми на "закъсалите" ученици.

1. дневник а а= 1 – интегрална логаритмична единица. Запомнете го веднъж завинаги: логаритъма на всяка основа ав светлината на което осигурете добър.
2. дневник а 1 = 0 - цяло число логаритмична нула. подстава аможе и така, но ако стоиш сам в спора - логаритъма е равен на нула! защото а 0 = 1 - това е директно присвояване.

Ос и всички сили. Obov'yazkovo практика zastosovuvat тях на практика! Вземете измамен лист в началото на урока, разпространете информацията и напишете задачата.

Вик от йога. І така логаритъма на числото bна стойка а vynachaetsya като pokanik стъпка, в която се изисква да се обадите на номера а, за да вземете номера b(Логаритъмът е валиден само за положителни числа).

Защо формулата е очевидна, какво е изчислението x=log a b, също толкова важно решение a x = b.Например, log 2 8 = 3защото 8 = 2 3 . Формулата за логаритъм дава възможност да донесе какво b=a, след това логаритъма на числото bна стойка а dorivnyuє ч. Също така е ясно, че темата за логаритъма е тясно свързана с темата за стъпката на число.

С логаритми, като и с всякакви числа, можете да спечелите сгъваеми операции, vídnіmannyaи трансформира всичко. Але, през тези, които логаритмират - ние не знаем обикновените числа, тук задаваме свои собствени специални правила, както се наричат основните органи.

Сгъване, че vídnіmannya логаритми.

Вземете два логаритма с еднакви подстанции: дневник xі log a y. Todi с тях можете да извършите операцията по сгъване и vіdnіmannya:

log a x + log a y = log a (x y);

log a x - log a y = log a (x: y).

дневник а(х 1 . х 2 . х 3 ... x k) = дневник x 1 + дневник x 2 + дневник x 3 + ... + log a x k.

У теорема за логаритъм на частноМожете да вземете още една степен на логаритъм. Zagalnovídomo, sho log а 1= 0, по-късно,

дневник а 1 /b= дневник а 1 - дневник а б= -дневник а б.

И това означава maє mistse rivnіst:

log a 1/b = - log a b.

Логаритми на две взаимно обърнати числаточно поради тази причина те ще бъдат различни един от друг и ще бъдат взаимно познати. Така:

Log 3 9 = - log 3 1/9; log 5 1/125 = -log 5 125.

Логаритъм на Коринот положително число добавете логаритъма на коренната вираза, разделен на индикатора на корена:

Аз наистина, под час на работа със стъпки vikoristovuetsya zalezhnіst, след това, след като zastosuvav стъпка логаритъм теорема и вземете тази формула.

Застосуемо я на практика, можем да видим дупето:

При по-висока задача за познаване на логаритъмадоенето често се показва като банално под формата на логаритми на същата основа (напр. а) отидете на логаритми от друга основа (например, ч) . В такива ситуации формулата ще дойде:

Когато tsimu maєtsya на uvazi, scho а, бі чизключително положителни числа, освен това аі чне е равен сам.

За да докажем стойността на формулата, ускоряваме основен логаритмичен тотонизъм:

Тъй като положителните числа са равни, тогава, очевидно, равни и техните логаритми от едно и също обосновават ч. Том:

Zastosuvshi теорема за стъпковия логаритъм:

Отже , регистрирайте a b · дневник c a = дневник c bзвезди и вятър формулата за промяна на основата на логаритъма.

ПОКАЗАНА Е ЛОГАРИТМИЧНАТА ФУНКЦИЯ VIII

§ 184. Логаритъм стъпка и корен

Теорема 1.Логаритъмът на стъпката на положително число е по-скъп за добавяне на индикатор на първата стъпка към логаритъма на нейната основа.

С други думи, като а і х положителен а =/= 1, тогава за всяко реално число к

дневник a x к = к дневник a x . (1)

За да се докаже тази формула, е достатъчно да се покаже това

= а к дневник a x . (2)

= х к

а к дневник a x = (а дневник a x ) к = х к .

Виждаме валидността на формула (2), също и (1).

С уважение, какво число к е естествен ( k = n ), след това формула (1)

дневник а (х 1 х 2 х 3 ... х н ) = дневник a x 1+дневник a x 2+лог a x 3 + ...дневник a x н .

доведени до предния параграф. Правилно, спазвайки тази формула

х 1 = х 2 = ... = х н = х ,

приемаме:

дневник a x н = н дневник a x .

1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;

2) log 3 2 √ 3 = √3 log 3 2.

с отрицателни стойности х Формула (1) използва сенс. Например, не е възможно да се запише log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4), не се присвояват резултати за вируси log 2 (-4). С уважение, какво е вираз, това, което е в лявата част на формулата, има смисъл:

log 2 (-4) 2 = log 2 16 = 4.

Vzagali, като номер х отрицателен, след това viraz log a x 2к = 2к дневник a x назначен, парчета х 2к > 0. Viraz е 2 к дневник a x времето няма смисъл. Да пиша на

Дневник a x 2к = 2к дневник a x

не мога. Проте, можеш да пишеш

дневник a x 2к = 2к дневник a | х | (3)

Tsya формула е лесна за въвеждане от (1), така че врахува, шо

х 2к = | х | 2к

Например,

log 3 (-3) 4 = 4 log 3 | -3 | = 4 log 3 3 = 4.

Теорема 2.Логаритъмът на корена на положително число е същият като логаритъма на корена вираза, разделен на индикатора на корена.

С други думи, като числа а і х положителен, а =/= 1 i П тогава е естествено число

дневник а н √х = 1 / н дневник a x

Вярно, н √х =. За теоремата

дневник а н √х = дневник а = 1 / н дневник a x .

1) log 3 √8 = 1/2 log 3 8; 2) log 2 5 √27 = 1/5 log 2 27.

точно

1408

а) наречете числото квадрат;

б) извадете корен квадратен от числото?

1409. Как да промените цената на дневник 2 а - дневник 2 b , като числата а і b заменете го с:

а) а 3 това b 3; б) 3 а та 3 b ?

1410. Знаейки, че log 10 2 ≈ 0,3010, log 10 3 ≈ 0,4771, знайте логаритмите при заместването на 10 числа:

8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9

1411. Покажете, че логаритмите на последните членове на геометрична прогресия отговарят на аритметична прогресия.

1412

при = дневник 3 х 2 това при = 2 log 3 х

Насърчавайте графиките на тези функции.

1413. Да знаеш прошка от такива трансформации:

log 2 1/3 = log 2 1/3

2 log 2 1/3 > log 2 1/3;

log 2 (1/3) 2 > log 2 1/3

(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;

\(a^(b)=c\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(\log_(a)(c)=b\)

Нека обясним по-просто. Например \(\log_(2)(8)\) е напреднала стъпка, трябва да извикате \(2\), за да вземете \(8\). Изглежда като (log_(2)(8)=3).

Приложи:		\(\log_(5)(25)=2\)		защото \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		защото \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		защото \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Аргумент, че основен логаритъм

Дали всеки логаритъм може да има такава "анатомия":

Аргументът на логаритъма трябва да бъде написан с його равен, а основата - с нормален шрифт, по-близо до знака на логаритъма. И този запис гласи така: „логаритъм от двадесет и пет пет върху заместител пет пет.“

Как да изчислим логаритъма?

За да изчислите логаритъма - необходимо е да знаете захранването: в света да следвате водещата роля, да вземете аргумента?

Например, изчислете логаритъма: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

а) Трябва ли светът да плати \ (4 \), за да вземе \ (16 \)? Очевидно приятел. Том:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Трябва ли светът да знае \(\sqrt(5)\), за да можете да вземете \(1\)? И какъв вид да ограбите, било то броят на самотата? Нула, страхотно!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

г) На какъв етап трябва да въведете \(\sqrt(7)\), за да можете да изберете \(\sqrt(7)\)? В pershu - дали номерът в първата стъпка е по-красив за вас самите.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

д) В същия свят трябва да извикате \(3\), за да вземете \(\sqrt(3)\)? Знаем каква е стъпката на удара, имам предвид квадратния корен е стъпката \(\frac(1)(2)\).

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Задник : Изчислете логаритъма \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Решение :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Трябва да знаем стойността на логаритъма, значително його за х. Сега ускоряваме до зададения логаритъм: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Какво означава \(4\sqrt(2)\) и \(8\)? Две, защото дори и тези, а още по-голям брой могат да разкрият две: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Нивото на мощност се ускорява бързо: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) и \((a^(m))^(n)=a^( m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Обосновете еквивалентността, преминете към еквивалентността на показанията
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Умножете обидната част от ревността по \(\frac(2)(5)\)
		Korin, scho wiyshov, i е стойност на логаритъма

Vidpovid : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Някога познавали ли сте логаритъма?

Sob tse zrazumíti, rozv'yazhemo r_vnyannya: \(3^(x)=9\). Просто вдигнете \ (x \), така че ревността да работи. Е, \(x=2\).

И сега rozv'yazhit rivnyannya: \(3^(x)=8\). Оста е отдясно.

Най-умно е да се каже: "х е три пъти по-малко от две." Как точно записвате числото? За vidpovіdі tse pitannya измислих логаритъм. Можете да го запишете тук като \(x=\log_(3)(8)\).

Искам да кажа така \(\log_(3)(8)\), като i да бъде логаритъм - това е просто число. И така, гледайки мълчаливо, после за кратко. За това yakbi mi искаше да го запише пред десетична дроб, тогава щеше да изглежда така: \ (1,892789260714 ..... \)

Задник : Възход на реката \(4^(5x-4)=10\)

Решение :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) и \(10\) не дават никакви заместители. И така, тук не можете без логаритъма. Ускоряване на логаритъма: \(a^(b)=c\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Огледално обърнато подравняване, shob iks buv livoruch
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		пред нас. Преместете (4) надясно. Не се поддавам на логаритъма, настройвайки се на нов як до голям брой.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Нека увеличим нивото с 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Оста е нашият корен. Така че, гледайки мълчаливо, но не избирайте.

Vidpovid : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Десетични числа и естествени логаритми

Както е присвоено на зададения логаритъм, неговата основа може да бъде положително число, освен едно ((a>0, a\neq1)). Средният диапазон на възможните подстанции е две толкова често, че за логаритми те излязоха със специална кратка нотация:

Натурален логаритъм: логаритъм, чиято основа е числото на Ойлер \(e\) (равно на приблизително \(2,7182818…\)), и такъв логаритъм се записва като \(\ln(a)\).

Тобто, \(\ln(a)\) същото като \(\log_(e)(a)\)

Десетичен логаритъм: логаритъмът, чиято основа е 10, се записва \(\lg(a)\).

Тобто, \(\lg(a)\) същото като \(\log_(10)(a)\), De \(a\) - Число на Дийк.

Основна логаритмична съвкупност

Логаритмите имат много мощности. Един от тях носи името "Основен логаритмичен тотонизъм" и изглежда така:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Tsya vlastivist vplivaya без посредник z vyznachennya. Чудим се как се появи самата формула.

Нека направим кратка нотация за логаритъма:

ако \(a^(b)=c\), тогава \(\log_(a)(c)=b\)

Тоест \(b\) е същото като \(\log_(a)(c)\). Можем също да напишем \(\log_(a)(c)\) заместваме \(b\) за формулата \(a^(b)=c\). Wiishlo \(a^(\log_(a)(c))=c\) е основната логаритмична идентичност.

Можете да научите повече за силата на логаритмите. С тази помощ можете да питате и да броите стойностите на вируса с логаритми, като „на челото“, лесно е.

Задник : Намерете стойността на виразу \(36^(\log_(6)(5))\)

Решение :

Vidpovid : \(25\)

Как се записва число в логаритъм?

Как bulo беше присвоено повече - било то логаритъм, просто число. Verno i zvorotne: дали едно число може да се запише като логаритъм. Например знаем, че \(\log_(2)(4)\) е равно на две. Тогава можете да напишете вместо две \(\log_(2)(4)\).

Но \(\log_(3)(9)\) е известен също като \(2\), така че можете също да напишете \(2=\log_(3)(9)\). По същия начин, и \(\log_(5)(25)\), и з\(\log_(9)(81)\), и т.н. Тобто, излез

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

По такъв начин, както ни е необходимо, ние можем де завигодно (дори да е равно, ако е произнесено, ако е нечетно) да запишем две като логаритъм с произволна основа - точно като аргумент, ние записваме основата на квадрати.

Така че е просто і с тройна - тя може да бъде написана като \(\log_(2)(8)\), или като \(\log_(3)(27)\), или като \(\log_(4)( 64) \)… Тук, като аргумент, записваме основата в куб:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

И с четвърткой:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

І ч минус самота:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 ) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\ frac (1)(7)\)\(...\)

Аз съм една трета:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Дали число \(a\) може да бъде представено като логаритъм с основа \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Задник : Разберете значението на вируса \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Решение :

Vidpovid : \(1\)